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Theorem distrlem1pr 8894
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 1-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrlem1pr  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  C_  (
( A  .P.  B
)  +P.  ( A  .P.  C ) ) )

Proof of Theorem distrlem1pr
Dummy variables  x  y  z  w  v 
f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addclpr 8887 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  +P.  C
)  e.  P. )
2 df-mp 8853 . . . . . 6  |-  .P.  =  ( y  e.  P. ,  z  e.  P.  |->  { f  |  E. g  e.  y  E. h  e.  z  f  =  ( g  .Q  h ) } )
3 mulclnq 8816 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  .Q  h
)  e.  Q. )
42, 3genpelv 8869 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  +P.  C )  e.  P. )  -> 
( w  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  <->  E. x  e.  A  E. v  e.  ( B  +P.  C ) w  =  ( x  .Q  v ) ) )
51, 4sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )
)  ->  ( w  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  <->  E. x  e.  A  E. v  e.  ( B  +P.  C ) w  =  ( x  .Q  v ) ) )
653impb 1149 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
w  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  <->  E. x  e.  A  E. v  e.  ( B  +P.  C
) w  =  ( x  .Q  v ) ) )
7 df-plp 8852 . . . . . . . . . . 11  |-  +P.  =  ( w  e.  P. ,  x  e.  P.  |->  { f  |  E. g  e.  w  E. h  e.  x  f  =  ( g  +Q  h ) } )
8 addclnq 8814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  +Q  h
)  e.  Q. )
97, 8genpelv 8869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( v  e.  ( B  +P.  C )  <->  E. y  e.  B  E. z  e.  C  v  =  ( y  +Q  z ) ) )
1093adant1 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
v  e.  ( B  +P.  C )  <->  E. y  e.  B  E. z  e.  C  v  =  ( y  +Q  z
) ) )
1110adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  (
x  .Q  v ) ) )  ->  (
v  e.  ( B  +P.  C )  <->  E. y  e.  B  E. z  e.  C  v  =  ( y  +Q  z
) ) )
12 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  (
x  .Q  v ) ) )  ->  w  =  ( x  .Q  v ) )
13 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C
)  /\  v  =  ( y  +Q  z
) )  ->  v  =  ( y  +Q  z ) )
14 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( y  +Q  z )  ->  (
x  .Q  v )  =  ( x  .Q  ( y  +Q  z
) ) )
1514eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( y  +Q  z )  ->  (
w  =  ( x  .Q  v )  <->  w  =  ( x  .Q  (
y  +Q  z ) ) ) )
1615biimpac 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  =  ( x  .Q  v )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) )  ->  w  =  ( x  .Q  ( y  +Q  z
) ) )
17 distrnq 8830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  .Q  ( y  +Q  z ) )  =  ( ( x  .Q  y )  +Q  (
x  .Q  z ) )
1816, 17syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  =  ( x  .Q  v )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) )  ->  w  =  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z ) ) )
1912, 13, 18syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  w  =  ( ( x  .Q  y
)  +Q  ( x  .Q  z ) ) )
20 mulclpr 8889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  .P.  B
)  e.  P. )
21203adant3 977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  .P.  B )  e. 
P. )
2221ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  ( A  .P.  B )  e.  P. )
23 mulclpr 8889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  .P.  C
)  e.  P. )
24233adant2 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  .P.  C )  e. 
P. )
2524ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  ( A  .P.  C )  e.  P. )
26 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C
)  /\  v  =  ( y  +Q  z
) )  ->  y  e.  B )
272, 3genpprecl 8870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .Q  y )  e.  ( A  .P.  B ) ) )
28273adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  .Q  y )  e.  ( A  .P.  B ) ) )
2928impl 604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .Q  y )  e.  ( A  .P.  B ) )
3029adantlrr 702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .Q  y
)  e.  ( A  .P.  B ) )
3126, 30sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  ( x  .Q  y )  e.  ( A  .P.  B ) )
32 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C
)  /\  v  =  ( y  +Q  z
) )  ->  z  e.  C )
332, 3genpprecl 8870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  C )  ->  (
x  .Q  z )  e.  ( A  .P.  C ) ) )
34333adant2 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
( x  e.  A  /\  z  e.  C
)  ->  ( x  .Q  z )  e.  ( A  .P.  C ) ) )
3534impl 604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  x  e.  A
)  /\  z  e.  C )  ->  (
x  .Q  z )  e.  ( A  .P.  C ) )
3635adantlrr 702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  z  e.  C )  ->  ( x  .Q  z
)  e.  ( A  .P.  C ) )
3732, 36sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  ( x  .Q  z )  e.  ( A  .P.  C ) )
387, 8genpprecl 8870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  .P.  B
)  e.  P.  /\  ( A  .P.  C )  e.  P. )  -> 
( ( ( x  .Q  y )  e.  ( A  .P.  B
)  /\  ( x  .Q  z )  e.  ( A  .P.  C ) )  ->  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z ) )  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) )
3938imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  .P.  B )  e.  P.  /\  ( A  .P.  C )  e.  P. )  /\  ( ( x  .Q  y )  e.  ( A  .P.  B )  /\  ( x  .Q  z )  e.  ( A  .P.  C ) ) )  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( x  .Q  z ) )  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C
) ) )
4022, 25, 31, 37, 39syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  ( ( x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z
) )  e.  ( ( A  .P.  B
)  +P.  ( A  .P.  C ) ) )
4119, 40eqeltrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  ( x  .Q  v
) ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  /\  v  =  ( y  +Q  z ) ) )  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B
)  +P.  ( A  .P.  C ) ) )
4241exp32 589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  (
x  .Q  v ) ) )  ->  (
( y  e.  B  /\  z  e.  C
)  ->  ( v  =  ( y  +Q  z )  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) ) )
4342rexlimdvv 2828 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  (
x  .Q  v ) ) )  ->  ( E. y  e.  B  E. z  e.  C  v  =  ( y  +Q  z )  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) )
4411, 43sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  w  =  (
x  .Q  v ) ) )  ->  (
v  e.  ( B  +P.  C )  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C
) ) ) )
4544exp32 589 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
x  e.  A  -> 
( w  =  ( x  .Q  v )  ->  ( v  e.  ( B  +P.  C
)  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) ) ) )
4645com34 79 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
x  e.  A  -> 
( v  e.  ( B  +P.  C )  ->  ( w  =  ( x  .Q  v
)  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) ) ) )
4746imp3a 421 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
( x  e.  A  /\  v  e.  ( B  +P.  C ) )  ->  ( w  =  ( x  .Q  v
)  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) ) )
4847rexlimdvv 2828 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( E. x  e.  A  E. v  e.  ( B  +P.  C ) w  =  ( x  .Q  v )  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) )
496, 48sylbid 207 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
w  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  ->  w  e.  ( ( A  .P.  B )  +P.  ( A  .P.  C ) ) ) )
5049ssrdv 3346 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  C_  (
( A  .P.  B
)  +P.  ( A  .P.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698    C_ wss 3312  (class class class)co 6073    +Q cplq 8722    .Q cmq 8723   P.cnp 8726    +P. cpp 8728    .P. cmp 8729
This theorem is referenced by:  distrpr  8897
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ni 8741  df-pli 8742  df-mi 8743  df-lti 8744  df-plpq 8777  df-mpq 8778  df-ltpq 8779  df-enq 8780  df-nq 8781  df-erq 8782  df-plq 8783  df-mq 8784  df-1nq 8785  df-rq 8786  df-ltnq 8787  df-np 8850  df-plp 8852  df-mp 8853
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