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Theorem distrlem4pr 8650
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrlem4pr  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, f, A    x, B, y, z, f    x, C, y, z, f

Proof of Theorem distrlem4pr
Dummy variables  w  v  u  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  B  e.  P. )
2 simprlr 739 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  y  e.  B )
3 elprnq 8615 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  Q. )
41, 2, 3syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  y  e.  Q. )
5 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  A  e.  P. )
6 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ( f  e.  A  /\  z  e.  C ) )  -> 
f  e.  A )
7 elprnq 8615 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  Q. )
85, 6, 7syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  f  e.  Q. )
9 simpl3 960 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  C  e.  P. )
10 simprrr 741 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  z  e.  C )
11 elprnq 8615 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  P.  /\  z  e.  C )  ->  z  e.  Q. )
129, 10, 11syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  z  e.  Q. )
13 vex 2791 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
14 vex 2791 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
15 ltmnq 8596 . . . . . 6  |-  ( u  e.  Q.  ->  (
w  <Q  v  <->  ( u  .Q  w )  <Q  (
u  .Q  v ) ) )
16 vex 2791 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
17 mulcomnq 8577 . . . . . 6  |-  ( w  .Q  v )  =  ( v  .Q  w
)
1813, 14, 15, 16, 17caovord2 6032 . . . . 5  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
x  <Q  f  <->  ( x  .Q  y )  <Q  (
f  .Q  y ) ) )
19 mulclnq 8571 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  z
)  e.  Q. )
20 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( x  .Q  y )  e. 
_V
21 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( f  .Q  y )  e. 
_V
22 ltanq 8595 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  Q.  ->  (
w  <Q  v  <->  ( u  +Q  w )  <Q  (
u  +Q  v ) ) )
23 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( f  .Q  z )  e. 
_V
24 addcomnq 8575 . . . . . . 7  |-  ( w  +Q  v )  =  ( v  +Q  w
)
2520, 21, 22, 23, 24caovord2 6032 . . . . . 6  |-  ( ( f  .Q  z )  e.  Q.  ->  (
( x  .Q  y
)  <Q  ( f  .Q  y )  <->  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  <Q 
( ( f  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) ) ) )
2619, 25syl 15 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( ( x  .Q  y )  <Q  (
f  .Q  y )  <-> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
f  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) ) ) )
2718, 26sylan9bb 680 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  ( f  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )
)  ->  ( x  <Q  f  <->  ( ( x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z
) )  <Q  (
( f  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) ) ) )
284, 8, 12, 27syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
x  <Q  f  <->  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  <Q 
( ( f  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) ) ) )
29 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  A  e.  P. )
30 addclpr 8642 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  +P.  C
)  e.  P. )
31303adant1 973 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  +P.  C )  e. 
P. )
3231adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  ( B  +P.  C )  e. 
P. )
33 mulclpr 8644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  +P.  C )  e.  P. )  -> 
( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  e.  P. )
3429, 32, 33syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  e.  P. )
35 distrnq 8585 . . . . 5  |-  ( f  .Q  ( y  +Q  z ) )  =  ( ( f  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )
36 simprrl 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  f  e.  A )
37 df-plp 8607 . . . . . . . . 9  |-  +P.  =  ( u  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { w  |  E. g  e.  u  E. h  e.  v  w  =  ( g  +Q  h ) } )
38 addclnq 8569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  +Q  h
)  e.  Q. )
3937, 38genpprecl 8625 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  (
y  +Q  z )  e.  ( B  +P.  C ) ) )
4039imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  C
) )  ->  (
y  +Q  z )  e.  ( B  +P.  C ) )
411, 9, 2, 10, 40syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
y  +Q  z )  e.  ( B  +P.  C ) )
42 df-mp 8608 . . . . . . . 8  |-  .P.  =  ( u  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { w  |  E. g  e.  u  E. h  e.  v  w  =  ( g  .Q  h ) } )
43 mulclnq 8571 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  .Q  h
)  e.  Q. )
4442, 43genpprecl 8625 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  +P.  C )  e.  P. )  -> 
( ( f  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  ( B  +P.  C
) )  ->  (
f  .Q  ( y  +Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
4544imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  ( B  +P.  C
)  e.  P. )  /\  ( f  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  ( B  +P.  C ) ) )  ->  ( f  .Q  ( y  +Q  z
) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
4629, 32, 36, 41, 45syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
f  .Q  ( y  +Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
4735, 46syl5eqelr 2368 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
( f  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
48 prcdnq 8617 . . . 4  |-  ( ( ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  e.  P.  /\  (
( f  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )  ->  (
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
f  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  -> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
4934, 47, 48syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
f  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  -> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
5028, 49sylbid 206 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
x  <Q  f  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
51 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ( f  e.  A  /\  z  e.  C ) )  ->  x  e.  A )
52 elprnq 8615 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  Q. )
535, 51, 52syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  x  e.  Q. )
54 vex 2791 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
5514, 13, 15, 54, 17caovord2 6032 . . . . 5  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
f  <Q  x  <->  ( f  .Q  z )  <Q  (
x  .Q  z ) ) )
56 mulclnq 8571 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x  .Q  y
)  e.  Q. )
57 ltanq 8595 . . . . . 6  |-  ( ( x  .Q  y )  e.  Q.  ->  (
( f  .Q  z
)  <Q  ( x  .Q  z )  <->  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  <Q 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
x  .Q  z ) ) ) )
5856, 57syl 15 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( f  .Q  z )  <Q  (
x  .Q  z )  <-> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z ) ) ) )
5955, 58sylan9bbr 681 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  z  e.  Q. )  ->  ( f  <Q  x 
<->  ( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z ) ) ) )
6053, 4, 12, 59syl21anc 1181 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
f  <Q  x  <->  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  <Q 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
x  .Q  z ) ) ) )
61 distrnq 8585 . . . . 5  |-  ( x  .Q  ( y  +Q  z ) )  =  ( ( x  .Q  y )  +Q  (
x  .Q  z ) )
62 simprll 738 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  x  e.  A )
6342, 43genpprecl 8625 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  +P.  C )  e.  P. )  -> 
( ( x  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  ( B  +P.  C
) )  ->  (
x  .Q  ( y  +Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
6463imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  ( B  +P.  C
)  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  ( B  +P.  C ) ) )  ->  ( x  .Q  ( y  +Q  z
) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
6529, 32, 62, 41, 64syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
x  .Q  ( y  +Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
6661, 65syl5eqelr 2368 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( x  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
67 prcdnq 8617 . . . 4  |-  ( ( ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  e.  P.  /\  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( x  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )  ->  (
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z ) )  -> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
6834, 66, 67syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z ) )  -> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
6960, 68sylbid 206 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
f  <Q  x  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
70 ltsonq 8593 . . . . 5  |-  <Q  Or  Q.
71 sotrieq 4341 . . . . 5  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )
)  ->  ( x  =  f  <->  -.  ( x  <Q  f  \/  f  <Q  x ) ) )
7270, 71mpan 651 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( x  =  f  <->  -.  ( x  <Q  f  \/  f  <Q  x ) ) )
7353, 8, 72syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
x  =  f  <->  -.  (
x  <Q  f  \/  f  <Q  x ) ) )
74 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( x  =  f  ->  (
x  .Q  z )  =  ( f  .Q  z ) )
7574oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  f  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( x  .Q  z ) )  =  ( ( x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z
) ) )
7661, 75syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( x  =  f  ->  (
x  .Q  ( y  +Q  z ) )  =  ( ( x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z
) ) )
7776eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( x  =  f  ->  (
( x  .Q  (
y  +Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  <->  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
7865, 77syl5ibcom 211 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
x  =  f  -> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
7973, 78sylbird 226 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  ( -.  ( x  <Q  f  \/  f  <Q  x )  ->  ( ( x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z
) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
8050, 69, 79ecase3d 909 1  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023    Or wor 4313  (class class class)co 5858   Q.cnq 8474    +Q cplq 8477    .Q cmq 8478    <Q cltq 8480   P.cnp 8481    +P. cpp 8483    .P. cmp 8484
This theorem is referenced by:  distrlem5pr  8651
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ni 8496  df-pli 8497  df-mi 8498  df-lti 8499  df-plpq 8532  df-mpq 8533  df-ltpq 8534  df-enq 8535  df-nq 8536  df-erq 8537  df-plq 8538  df-mq 8539  df-1nq 8540  df-rq 8541  df-ltnq 8542  df-np 8605  df-plp 8607  df-mp 8608
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