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Theorem distrlem4pr 8666
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrlem4pr  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, f, A    x, B, y, z, f    x, C, y, z, f

Proof of Theorem distrlem4pr
Dummy variables  w  v  u  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  B  e.  P. )
2 simprlr 739 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  y  e.  B )
3 elprnq 8631 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  Q. )
41, 2, 3syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  y  e.  Q. )
5 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  A  e.  P. )
6 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ( f  e.  A  /\  z  e.  C ) )  -> 
f  e.  A )
7 elprnq 8631 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  Q. )
85, 6, 7syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  f  e.  Q. )
9 simpl3 960 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  C  e.  P. )
10 simprrr 741 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  z  e.  C )
11 elprnq 8631 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  P.  /\  z  e.  C )  ->  z  e.  Q. )
129, 10, 11syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  z  e.  Q. )
13 vex 2804 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
14 vex 2804 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
15 ltmnq 8612 . . . . . 6  |-  ( u  e.  Q.  ->  (
w  <Q  v  <->  ( u  .Q  w )  <Q  (
u  .Q  v ) ) )
16 vex 2804 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
17 mulcomnq 8593 . . . . . 6  |-  ( w  .Q  v )  =  ( v  .Q  w
)
1813, 14, 15, 16, 17caovord2 6048 . . . . 5  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
x  <Q  f  <->  ( x  .Q  y )  <Q  (
f  .Q  y ) ) )
19 mulclnq 8587 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  z
)  e.  Q. )
20 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( x  .Q  y )  e. 
_V
21 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( f  .Q  y )  e. 
_V
22 ltanq 8611 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  Q.  ->  (
w  <Q  v  <->  ( u  +Q  w )  <Q  (
u  +Q  v ) ) )
23 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( f  .Q  z )  e. 
_V
24 addcomnq 8591 . . . . . . 7  |-  ( w  +Q  v )  =  ( v  +Q  w
)
2520, 21, 22, 23, 24caovord2 6048 . . . . . 6  |-  ( ( f  .Q  z )  e.  Q.  ->  (
( x  .Q  y
)  <Q  ( f  .Q  y )  <->  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  <Q 
( ( f  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) ) ) )
2619, 25syl 15 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( ( x  .Q  y )  <Q  (
f  .Q  y )  <-> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
f  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) ) ) )
2718, 26sylan9bb 680 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  ( f  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )
)  ->  ( x  <Q  f  <->  ( ( x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z
) )  <Q  (
( f  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) ) ) )
284, 8, 12, 27syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
x  <Q  f  <->  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  <Q 
( ( f  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) ) ) )
29 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  A  e.  P. )
30 addclpr 8658 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  +P.  C
)  e.  P. )
31303adant1 973 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  +P.  C )  e. 
P. )
3231adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  ( B  +P.  C )  e. 
P. )
33 mulclpr 8660 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  +P.  C )  e.  P. )  -> 
( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  e.  P. )
3429, 32, 33syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  e.  P. )
35 distrnq 8601 . . . . 5  |-  ( f  .Q  ( y  +Q  z ) )  =  ( ( f  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )
36 simprrl 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  f  e.  A )
37 df-plp 8623 . . . . . . . . 9  |-  +P.  =  ( u  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { w  |  E. g  e.  u  E. h  e.  v  w  =  ( g  +Q  h ) } )
38 addclnq 8585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  +Q  h
)  e.  Q. )
3937, 38genpprecl 8641 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  (
y  +Q  z )  e.  ( B  +P.  C ) ) )
4039imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  C
) )  ->  (
y  +Q  z )  e.  ( B  +P.  C ) )
411, 9, 2, 10, 40syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
y  +Q  z )  e.  ( B  +P.  C ) )
42 df-mp 8624 . . . . . . . 8  |-  .P.  =  ( u  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { w  |  E. g  e.  u  E. h  e.  v  w  =  ( g  .Q  h ) } )
43 mulclnq 8587 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  .Q  h
)  e.  Q. )
4442, 43genpprecl 8641 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  +P.  C )  e.  P. )  -> 
( ( f  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  ( B  +P.  C
) )  ->  (
f  .Q  ( y  +Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
4544imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  ( B  +P.  C
)  e.  P. )  /\  ( f  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  ( B  +P.  C ) ) )  ->  ( f  .Q  ( y  +Q  z
) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
4629, 32, 36, 41, 45syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
f  .Q  ( y  +Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
4735, 46syl5eqelr 2381 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
( f  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
48 prcdnq 8633 . . . 4  |-  ( ( ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  e.  P.  /\  (
( f  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )  ->  (
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
f  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  -> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
4934, 47, 48syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
f  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  -> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
5028, 49sylbid 206 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
x  <Q  f  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
51 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ( f  e.  A  /\  z  e.  C ) )  ->  x  e.  A )
52 elprnq 8631 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  Q. )
535, 51, 52syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  x  e.  Q. )
54 vex 2804 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
5514, 13, 15, 54, 17caovord2 6048 . . . . 5  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
f  <Q  x  <->  ( f  .Q  z )  <Q  (
x  .Q  z ) ) )
56 mulclnq 8587 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x  .Q  y
)  e.  Q. )
57 ltanq 8611 . . . . . 6  |-  ( ( x  .Q  y )  e.  Q.  ->  (
( f  .Q  z
)  <Q  ( x  .Q  z )  <->  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  <Q 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
x  .Q  z ) ) ) )
5856, 57syl 15 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( f  .Q  z )  <Q  (
x  .Q  z )  <-> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z ) ) ) )
5955, 58sylan9bbr 681 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  z  e.  Q. )  ->  ( f  <Q  x 
<->  ( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z ) ) ) )
6053, 4, 12, 59syl21anc 1181 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
f  <Q  x  <->  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  <Q 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
x  .Q  z ) ) ) )
61 distrnq 8601 . . . . 5  |-  ( x  .Q  ( y  +Q  z ) )  =  ( ( x  .Q  y )  +Q  (
x  .Q  z ) )
62 simprll 738 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  x  e.  A )
6342, 43genpprecl 8641 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  +P.  C )  e.  P. )  -> 
( ( x  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  ( B  +P.  C
) )  ->  (
x  .Q  ( y  +Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
6463imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  ( B  +P.  C
)  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  ( B  +P.  C ) ) )  ->  ( x  .Q  ( y  +Q  z
) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
6529, 32, 62, 41, 64syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
x  .Q  ( y  +Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
6661, 65syl5eqelr 2381 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( x  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
67 prcdnq 8633 . . . 4  |-  ( ( ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  e.  P.  /\  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( x  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )  ->  (
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z ) )  -> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
6834, 66, 67syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z ) )  -> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
6960, 68sylbid 206 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
f  <Q  x  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
70 ltsonq 8609 . . . . 5  |-  <Q  Or  Q.
71 sotrieq 4357 . . . . 5  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )
)  ->  ( x  =  f  <->  -.  ( x  <Q  f  \/  f  <Q  x ) ) )
7270, 71mpan 651 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( x  =  f  <->  -.  ( x  <Q  f  \/  f  <Q  x ) ) )
7353, 8, 72syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
x  =  f  <->  -.  (
x  <Q  f  \/  f  <Q  x ) ) )
74 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( x  =  f  ->  (
x  .Q  z )  =  ( f  .Q  z ) )
7574oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( x  =  f  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( x  .Q  z ) )  =  ( ( x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z
) ) )
7661, 75syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( x  =  f  ->  (
x  .Q  ( y  +Q  z ) )  =  ( ( x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z
) ) )
7776eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( x  =  f  ->  (
( x  .Q  (
y  +Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  <->  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
7865, 77syl5ibcom 211 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
x  =  f  -> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
7973, 78sylbird 226 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  ( -.  ( x  <Q  f  \/  f  <Q  x )  ->  ( ( x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z
) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
8050, 69, 79ecase3d 909 1  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039    Or wor 4329  (class class class)co 5874   Q.cnq 8490    +Q cplq 8493    .Q cmq 8494    <Q cltq 8496   P.cnp 8497    +P. cpp 8499    .P. cmp 8500
This theorem is referenced by:  distrlem5pr  8667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ni 8512  df-pli 8513  df-mi 8514  df-lti 8515  df-plpq 8548  df-mpq 8549  df-ltpq 8550  df-enq 8551  df-nq 8552  df-erq 8553  df-plq 8554  df-mq 8555  df-1nq 8556  df-rq 8557  df-ltnq 8558  df-np 8621  df-plp 8623  df-mp 8624
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