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Theorem distrlem4pr 8903
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrlem4pr  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, f, A    x, B, y, z, f    x, C, y, z, f

Proof of Theorem distrlem4pr
Dummy variables  w  v  u  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 961 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  B  e.  P. )
2 simprlr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  y  e.  B )
3 elprnq 8868 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  Q. )
41, 2, 3syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  y  e.  Q. )
5 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  A  e.  P. )
6 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ( f  e.  A  /\  z  e.  C ) )  -> 
f  e.  A )
7 elprnq 8868 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  Q. )
85, 6, 7syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  f  e.  Q. )
9 simpl3 962 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  C  e.  P. )
10 simprrr 742 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  z  e.  C )
11 elprnq 8868 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  P.  /\  z  e.  C )  ->  z  e.  Q. )
129, 10, 11syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  z  e.  Q. )
13 vex 2959 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
14 vex 2959 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
15 ltmnq 8849 . . . . . 6  |-  ( u  e.  Q.  ->  (
w  <Q  v  <->  ( u  .Q  w )  <Q  (
u  .Q  v ) ) )
16 vex 2959 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
17 mulcomnq 8830 . . . . . 6  |-  ( w  .Q  v )  =  ( v  .Q  w
)
1813, 14, 15, 16, 17caovord2 6259 . . . . 5  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
x  <Q  f  <->  ( x  .Q  y )  <Q  (
f  .Q  y ) ) )
19 mulclnq 8824 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  z
)  e.  Q. )
20 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( x  .Q  y )  e. 
_V
21 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( f  .Q  y )  e. 
_V
22 ltanq 8848 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  Q.  ->  (
w  <Q  v  <->  ( u  +Q  w )  <Q  (
u  +Q  v ) ) )
23 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( f  .Q  z )  e. 
_V
24 addcomnq 8828 . . . . . . 7  |-  ( w  +Q  v )  =  ( v  +Q  w
)
2520, 21, 22, 23, 24caovord2 6259 . . . . . 6  |-  ( ( f  .Q  z )  e.  Q.  ->  (
( x  .Q  y
)  <Q  ( f  .Q  y )  <->  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  <Q 
( ( f  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) ) ) )
2619, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( ( x  .Q  y )  <Q  (
f  .Q  y )  <-> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
f  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) ) ) )
2718, 26sylan9bb 681 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  ( f  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )
)  ->  ( x  <Q  f  <->  ( ( x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z
) )  <Q  (
( f  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) ) ) )
284, 8, 12, 27syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
x  <Q  f  <->  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  <Q 
( ( f  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) ) ) )
29 simpl1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  A  e.  P. )
30 addclpr 8895 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  +P.  C
)  e.  P. )
31303adant1 975 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B  +P.  C )  e. 
P. )
3231adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  ( B  +P.  C )  e. 
P. )
33 mulclpr 8897 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  +P.  C )  e.  P. )  -> 
( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  e.  P. )
3429, 32, 33syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  e.  P. )
35 distrnq 8838 . . . . 5  |-  ( f  .Q  ( y  +Q  z ) )  =  ( ( f  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )
36 simprrl 741 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  f  e.  A )
37 df-plp 8860 . . . . . . . . 9  |-  +P.  =  ( u  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { w  |  E. g  e.  u  E. h  e.  v  w  =  ( g  +Q  h ) } )
38 addclnq 8822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  +Q  h
)  e.  Q. )
3937, 38genpprecl 8878 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  (
y  +Q  z )  e.  ( B  +P.  C ) ) )
4039imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  C
) )  ->  (
y  +Q  z )  e.  ( B  +P.  C ) )
411, 9, 2, 10, 40syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
y  +Q  z )  e.  ( B  +P.  C ) )
42 df-mp 8861 . . . . . . . 8  |-  .P.  =  ( u  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { w  |  E. g  e.  u  E. h  e.  v  w  =  ( g  .Q  h ) } )
43 mulclnq 8824 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  .Q  h
)  e.  Q. )
4442, 43genpprecl 8878 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  +P.  C )  e.  P. )  -> 
( ( f  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  ( B  +P.  C
) )  ->  (
f  .Q  ( y  +Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
4544imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  ( B  +P.  C
)  e.  P. )  /\  ( f  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  ( B  +P.  C ) ) )  ->  ( f  .Q  ( y  +Q  z
) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
4629, 32, 36, 41, 45syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
f  .Q  ( y  +Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
4735, 46syl5eqelr 2521 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
( f  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
48 prcdnq 8870 . . . 4  |-  ( ( ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  e.  P.  /\  (
( f  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )  ->  (
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
f  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  -> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
4934, 47, 48syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
f  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  -> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
5028, 49sylbid 207 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
x  <Q  f  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
51 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ( f  e.  A  /\  z  e.  C ) )  ->  x  e.  A )
52 elprnq 8868 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  Q. )
535, 51, 52syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  x  e.  Q. )
54 vex 2959 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
5514, 13, 15, 54, 17caovord2 6259 . . . . 5  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
f  <Q  x  <->  ( f  .Q  z )  <Q  (
x  .Q  z ) ) )
56 mulclnq 8824 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x  .Q  y
)  e.  Q. )
57 ltanq 8848 . . . . . 6  |-  ( ( x  .Q  y )  e.  Q.  ->  (
( f  .Q  z
)  <Q  ( x  .Q  z )  <->  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  <Q 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
x  .Q  z ) ) ) )
5856, 57syl 16 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( f  .Q  z )  <Q  (
x  .Q  z )  <-> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z ) ) ) )
5955, 58sylan9bbr 682 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  z  e.  Q. )  ->  ( f  <Q  x 
<->  ( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z ) ) ) )
6053, 4, 12, 59syl21anc 1183 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
f  <Q  x  <->  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  <Q 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
x  .Q  z ) ) ) )
61 distrnq 8838 . . . . 5  |-  ( x  .Q  ( y  +Q  z ) )  =  ( ( x  .Q  y )  +Q  (
x  .Q  z ) )
62 simprll 739 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  x  e.  A )
6342, 43genpprecl 8878 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  +P.  C )  e.  P. )  -> 
( ( x  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  ( B  +P.  C
) )  ->  (
x  .Q  ( y  +Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
6463imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  ( B  +P.  C
)  e.  P. )  /\  ( x  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  ( B  +P.  C ) ) )  ->  ( x  .Q  ( y  +Q  z
) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
6529, 32, 62, 41, 64syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
x  .Q  ( y  +Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
6661, 65syl5eqelr 2521 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( x  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
67 prcdnq 8870 . . . 4  |-  ( ( ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  e.  P.  /\  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( x  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )  ->  (
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z ) )  -> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
6834, 66, 67syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  <Q  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( x  .Q  z ) )  -> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
6960, 68sylbid 207 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
f  <Q  x  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
70 ltsonq 8846 . . . . 5  |-  <Q  Or  Q.
71 sotrieq 4530 . . . . 5  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )
)  ->  ( x  =  f  <->  -.  ( x  <Q  f  \/  f  <Q  x ) ) )
7270, 71mpan 652 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( x  =  f  <->  -.  ( x  <Q  f  \/  f  <Q  x ) ) )
7353, 8, 72syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
x  =  f  <->  -.  (
x  <Q  f  \/  f  <Q  x ) ) )
74 oveq1 6088 . . . . . . 7  |-  ( x  =  f  ->  (
x  .Q  z )  =  ( f  .Q  z ) )
7574oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( x  =  f  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( x  .Q  z ) )  =  ( ( x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z
) ) )
7661, 75syl5eq 2480 . . . . 5  |-  ( x  =  f  ->  (
x  .Q  ( y  +Q  z ) )  =  ( ( x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z
) ) )
7776eleq1d 2502 . . . 4  |-  ( x  =  f  ->  (
( x  .Q  (
y  +Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) )  <->  ( (
x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
7865, 77syl5ibcom 212 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
x  =  f  -> 
( ( x  .Q  y )  +Q  (
f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
7973, 78sylbird 227 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  ( -.  ( x  <Q  f  \/  f  <Q  x )  ->  ( ( x  .Q  y )  +Q  ( f  .Q  z
) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) ) )
8050, 69, 79ecase3d 910 1  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  A  /\  z  e.  C )
) )  ->  (
( x  .Q  y
)  +Q  ( f  .Q  z ) )  e.  ( A  .P.  ( B  +P.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725   class class class wbr 4212    Or wor 4502  (class class class)co 6081   Q.cnq 8727    +Q cplq 8730    .Q cmq 8731    <Q cltq 8733   P.cnp 8734    +P. cpp 8736    .P. cmp 8737
This theorem is referenced by:  distrlem5pr  8904
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ni 8749  df-pli 8750  df-mi 8751  df-lti 8752  df-plpq 8785  df-mpq 8786  df-ltpq 8787  df-enq 8788  df-nq 8789  df-erq 8790  df-plq 8791  df-mq 8792  df-1nq 8793  df-rq 8794  df-ltnq 8795  df-np 8858  df-plp 8860  df-mp 8861
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