Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distrlem4pr Structured version   Unicode version

Theorem distrlem4pr 8903
 Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrlem4pr
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,

Proof of Theorem distrlem4pr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 961 . . . . 5
2 simprlr 740 . . . . 5
3 elprnq 8868 . . . . 5
41, 2, 3syl2anc 643 . . . 4
5 simp1 957 . . . . 5
6 simprl 733 . . . . 5
7 elprnq 8868 . . . . 5
85, 6, 7syl2an 464 . . . 4
9 simpl3 962 . . . . 5
10 simprrr 742 . . . . 5
11 elprnq 8868 . . . . 5
129, 10, 11syl2anc 643 . . . 4
13 vex 2959 . . . . . 6
14 vex 2959 . . . . . 6
15 ltmnq 8849 . . . . . 6
16 vex 2959 . . . . . 6
17 mulcomnq 8830 . . . . . 6
1813, 14, 15, 16, 17caovord2 6259 . . . . 5
19 mulclnq 8824 . . . . . 6
20 ovex 6106 . . . . . . 7
21 ovex 6106 . . . . . . 7
22 ltanq 8848 . . . . . . 7
23 ovex 6106 . . . . . . 7
24 addcomnq 8828 . . . . . . 7
2520, 21, 22, 23, 24caovord2 6259 . . . . . 6
2619, 25syl 16 . . . . 5
2718, 26sylan9bb 681 . . . 4
284, 8, 12, 27syl12anc 1182 . . 3
29 simpl1 960 . . . . 5
30 addclpr 8895 . . . . . . 7
31303adant1 975 . . . . . 6
3231adantr 452 . . . . 5
33 mulclpr 8897 . . . . 5
3429, 32, 33syl2anc 643 . . . 4
35 distrnq 8838 . . . . 5
36 simprrl 741 . . . . . 6
37 df-plp 8860 . . . . . . . . 9
38 addclnq 8822 . . . . . . . . 9
3937, 38genpprecl 8878 . . . . . . . 8
4039imp 419 . . . . . . 7
411, 9, 2, 10, 40syl22anc 1185 . . . . . 6
42 df-mp 8861 . . . . . . . 8
43 mulclnq 8824 . . . . . . . 8
4442, 43genpprecl 8878 . . . . . . 7
4544imp 419 . . . . . 6
4629, 32, 36, 41, 45syl22anc 1185 . . . . 5
4735, 46syl5eqelr 2521 . . . 4
48 prcdnq 8870 . . . 4
4934, 47, 48syl2anc 643 . . 3
5028, 49sylbid 207 . 2
51 simpll 731 . . . . 5
52 elprnq 8868 . . . . 5
535, 51, 52syl2an 464 . . . 4
54 vex 2959 . . . . . 6
5514, 13, 15, 54, 17caovord2 6259 . . . . 5
56 mulclnq 8824 . . . . . 6
57 ltanq 8848 . . . . . 6
5856, 57syl 16 . . . . 5
5955, 58sylan9bbr 682 . . . 4
6053, 4, 12, 59syl21anc 1183 . . 3
61 distrnq 8838 . . . . 5
62 simprll 739 . . . . . 6
6342, 43genpprecl 8878 . . . . . . 7
6463imp 419 . . . . . 6
6529, 32, 62, 41, 64syl22anc 1185 . . . . 5
6661, 65syl5eqelr 2521 . . . 4
67 prcdnq 8870 . . . 4
6834, 66, 67syl2anc 643 . . 3
6960, 68sylbid 207 . 2
70 ltsonq 8846 . . . . 5
71 sotrieq 4530 . . . . 5
7270, 71mpan 652 . . . 4
7353, 8, 72syl2anc 643 . . 3
74 oveq1 6088 . . . . . . 7
7574oveq2d 6097 . . . . . 6
7661, 75syl5eq 2480 . . . . 5
7776eleq1d 2502 . . . 4
7865, 77syl5ibcom 212 . . 3
7973, 78sylbird 227 . 2
8050, 69, 79ecase3d 910 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wcel 1725   class class class wbr 4212   wor 4502  (class class class)co 6081  cnq 8727   cplq 8730   cmq 8731   cltq 8733  cnp 8734   cpp 8736   cmp 8737 This theorem is referenced by:  distrlem5pr  8904 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ni 8749  df-pli 8750  df-mi 8751  df-lti 8752  df-plpq 8785  df-mpq 8786  df-ltpq 8787  df-enq 8788  df-nq 8789  df-erq 8790  df-plq 8791  df-mq 8792  df-1nq 8793  df-rq 8794  df-ltnq 8795  df-np 8858  df-plp 8860  df-mp 8861
 Copyright terms: Public domain W3C validator