Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distrlem5pr Structured version   Unicode version

Theorem distrlem5pr 8904
 Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrlem5pr

Proof of Theorem distrlem5pr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulclpr 8897 . . . . 5
213adant3 977 . . . 4
3 mulclpr 8897 . . . . 5
433adant2 976 . . . 4
5 df-plp 8860 . . . . 5
6 addclnq 8822 . . . . 5
75, 6genpelv 8877 . . . 4
82, 4, 7syl2anc 643 . . 3
9 df-mp 8861 . . . . . . . 8
10 mulclnq 8824 . . . . . . . 8
119, 10genpelv 8877 . . . . . . 7
12113adant2 976 . . . . . 6
1312anbi2d 685 . . . . 5
14 df-mp 8861 . . . . . . . . 9
1514, 10genpelv 8877 . . . . . . . 8
16153adant3 977 . . . . . . 7
17 distrlem4pr 8903 . . . . . . . . . . . . . . 15
18 oveq12 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1918eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2119, 20syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221imp 419 . . . . . . . . . . . . . . 15
2317, 22syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . 14
2423exp4b 591 . . . . . . . . . . . . 13
2524com3l 77 . . . . . . . . . . . 12
2625exp4b 591 . . . . . . . . . . 11
2726com23 74 . . . . . . . . . 10
2827rexlimivv 2835 . . . . . . . . 9
2928rexlimdvv 2836 . . . . . . . 8
3029com3r 75 . . . . . . 7
3116, 30sylbid 207 . . . . . 6
3231imp3a 421 . . . . 5
3313, 32sylbid 207 . . . 4
3433rexlimdvv 2836 . . 3
358, 34sylbid 207 . 2
3635ssrdv 3354 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2706   wss 3320  (class class class)co 6081   cplq 8730   cmq 8731  cnp 8734   cpp 8736   cmp 8737 This theorem is referenced by:  distrpr  8905 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ni 8749  df-pli 8750  df-mi 8751  df-lti 8752  df-plpq 8785  df-mpq 8786  df-ltpq 8787  df-enq 8788  df-nq 8789  df-erq 8790  df-plq 8791  df-mq 8792  df-1nq 8793  df-rq 8794  df-ltnq 8795  df-np 8858  df-plp 8860  df-mp 8861
 Copyright terms: Public domain W3C validator