Theorem distrpi 5038

Description: Multiplication of positive integers is distributive.

Hypotheses

Ref	Expression
distrpi.1	|- B e. V
distrpi.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
distrpi	|- (A .N (B +N C)) = ((A .N B) +N (A .N C))

Proof of Theorem distrpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndi 4244	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (A .o (B +o C)) = ((A .o B) +o (A .o C)))
2		pinn 5018	. . . 4 |- (A e. N. -> A e. om)
3		pinn 5018	. . . 4 |- (B e. N. -> B e. om)
4		pinn 5018	. . . 4 |- (C e. N. -> C e. om)
5	1, 2, 3, 4	syl3an 870	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A .o (B +o C)) = ((A .o B) +o (A .o C)))
6		mulpiord 5025	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ (B +N C) e. N.) -> (A .N (B +N C)) = (A .o (B +N C)))
7		addclpi 5032	. . . . . 6 |- ((B e. N. /\ C e. N.) -> (B +N C) e. N.)
8	6, 7	sylan2 453	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ (B e. N. /\ C e. N.)) -> (A .N (B +N C)) = (A .o (B +N C)))
9		addpiord 5024	. . . . . . 7 |- ((B e. N. /\ C e. N.) -> (B +N C) = (B +o C))
10	9	opreq2d 3982	. . . . . 6 |- ((B e. N. /\ C e. N.) -> (A .o (B +N C)) = (A .o (B +o C)))
11	10	adantl 390	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ (B e. N. /\ C e. N.)) -> (A .o (B +N C)) = (A .o (B +o C)))
12	8, 11	eqtrd 1510	. . . 4 |- ((A e. N. /\ (B e. N. /\ C e. N.)) -> (A .N (B +N C)) = (A .o (B +o C)))
13	12	3impb 831	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A .N (B +N C)) = (A .o (B +o C)))
14		addpiord 5024	. . . . . 6 |- (((A .N B) e. N. /\ (A .N C) e. N.) -> ((A .N B) +N (A .N C)) = ((A .N B) +o (A .N C)))
15		mulclpi 5033	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) e. N.)
16		mulclpi 5033	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ C e. N.) -> (A .N C) e. N.)
17	14, 15, 16	syl2an 456	. . . . 5 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A e. N. /\ C e. N.)) -> ((A .N B) +N (A .N C)) = ((A .N B) +o (A .N C)))
18		mulpiord 5025	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) = (A .o B))
19		mulpiord 5025	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ C e. N.) -> (A .N C) = (A .o C))
20	18, 19	opreqan12d 3985	. . . . 5 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A e. N. /\ C e. N.)) -> ((A .N B) +o (A .N C)) = ((A .o B) +o (A .o C)))
21	17, 20	eqtrd 1510	. . . 4 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A e. N. /\ C e. N.)) -> ((A .N B) +N (A .N C)) = ((A .o B) +o (A .o C)))
22	21	3impdi 882	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> ((A .N B) +N (A .N C)) = ((A .o B) +o (A .o C)))
23	5, 13, 22	3eqtr4d 1520	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A .N (B +N C)) = ((A .N B) +N (A .N C)))
24		distrpi.1	. . 3 |- B e. V
25		dmaddpi 5030	. . 3 |- dom +N = (N. X. N.)
26		distrpi.2	. . 3 |- C e. V
27		0npi 5022	. . 3 |- -. (/) e. N.
28		dmmulpi 5031	. . 3 |- dom .N = (N. X. N.)
29	24, 25, 26, 27, 28	ndmoprdistr 4055	. 2 |- (-. (A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A .N (B +N C)) = ((A .N B) +N (A .N C)))
30	23, 29	pm2.61i 126	1 |- (A .N (B +N C)) = ((A .N B) +N (A .N C))

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  omcom 3137  (class class class)co 3969   +o coa 4136   .o comu 4137  N.cnpi 4984   +N cpli 4985   .N cmi 4986

This theorem is referenced by:  addcmpblnq 5064  addasspq 5075  distrpq 5079  ltapq 5088  ltexpq 5092  halfpq 5094

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014

Copyright terms: Public domain