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Theorem distsava 25792
Description: "Distribution" of scalar addition. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulone.1  |-  . t  =  ( . cv `  N )
distmlva.1  |-  + w  =  (  + cv `  N )
Assertion
Ref Expression
distsava  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( S  +  T
) . t U
)  =  ( ( S . t U
) + w ( T . t U ) ) )

Proof of Theorem distsava
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  x  e.  ( 1 ... N
) )
2 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( S  x.  ( U `  x ) )  e. 
_V
3 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( S  x.  ( U `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( S  x.  ( U `  x ) ) )
43fvmpt2 5624 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  /\  ( S  x.  ( U `  x )
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( S  x.  ( U `  x ) ) ) `  x
)  =  ( S  x.  ( U `  x ) ) )
51, 2, 4sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( S  x.  ( U `  x )
) ) `  x
)  =  ( S  x.  ( U `  x ) ) )
65eqcomd 2301 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( S  x.  ( U `  x ) )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( S  x.  ( U `  x ) ) ) `  x
) )
7 cnex 8834 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
8 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
97, 8elmap 6812 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  <->  U :
( 1 ... N
) --> CC )
10 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( U `  x )  e.  CC )
11 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( U `  x
)  e.  CC  /\  x  e.  ( 1 ... N )  /\  T  e.  CC )  ->  x  e.  ( 1 ... N ) )
12 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( T  x.  ( U `  x ) )  e. 
_V
13 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( T  x.  ( U `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( T  x.  ( U `  x ) ) )
1413fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  /\  ( T  x.  ( U `  x )
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( T  x.  ( U `  x ) ) ) `  x
)  =  ( T  x.  ( U `  x ) ) )
1511, 12, 14sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( U `  x
)  e.  CC  /\  x  e.  ( 1 ... N )  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( T  x.  ( U `  x ) ) ) `  x
)  =  ( T  x.  ( U `  x ) ) )
1615eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( U `  x
)  e.  CC  /\  x  e.  ( 1 ... N )  /\  T  e.  CC )  ->  ( T  x.  ( U `  x )
)  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( T  x.  ( U `
 x ) ) ) `  x ) )
17163exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U `  x )  e.  CC  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( T  e.  CC  ->  ( T  x.  ( U `  x )
)  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( T  x.  ( U `
 x ) ) ) `  x ) ) ) )
1817a1dd 42 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U `  x )  e.  CC  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( S  e.  CC  ->  ( T  e.  CC  ->  ( T  x.  ( U `  x )
)  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( T  x.  ( U `
 x ) ) ) `  x ) ) ) ) )
1918a1dd 42 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U `  x )  e.  CC  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( S  e.  CC  ->  ( T  e.  CC  ->  ( T  x.  ( U `  x )
)  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( T  x.  ( U `
 x ) ) ) `  x ) ) ) ) ) )
2010, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( N  e.  NN  ->  ( S  e.  CC  ->  ( T  e.  CC  ->  ( T  x.  ( U `  x
) )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( T  x.  ( U `  x )
) ) `  x
) ) ) ) ) )
2120com12 27 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( U : ( 1 ... N ) --> CC  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( S  e.  CC  ->  ( T  e.  CC  ->  ( T  x.  ( U `
 x ) )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( T  x.  ( U `  x ) ) ) `
 x ) ) ) ) ) )
2221anabsi7 792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( S  e.  CC  ->  ( T  e.  CC  ->  ( T  x.  ( U `  x
) )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( T  x.  ( U `  x )
) ) `  x
) ) ) ) )
2322ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( U : ( 1 ... N ) --> CC  ->  ( x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( S  e.  CC  ->  ( T  e.  CC  ->  ( T  x.  ( U `  x )
)  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( T  x.  ( U `
 x ) ) ) `  x ) ) ) ) ) )
249, 23sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( S  e.  CC  ->  ( T  e.  CC  ->  ( T  x.  ( U `  x )
)  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( T  x.  ( U `
 x ) ) ) `  x ) ) ) ) ) )
2524com25 85 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  ( T  e.  CC  ->  ( N  e.  NN  ->  ( S  e.  CC  ->  ( x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( T  x.  ( U `  x )
)  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( T  x.  ( U `
 x ) ) ) `  x ) ) ) ) ) )
2625impcom 419 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( S  e.  CC  ->  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  ( T  x.  ( U `  x ) )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( T  x.  ( U `
 x ) ) ) `  x ) ) ) ) )
2726com3l 75 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S  e.  CC  ->  ( ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( T  x.  ( U `  x
) )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( T  x.  ( U `  x )
) ) `  x
) ) ) ) )
28273imp1 1164 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( T  x.  ( U `  x ) )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( T  x.  ( U `  x ) ) ) `  x
) )
296, 28oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( S  x.  ( U `  x )
)  +  ( T  x.  ( U `  x ) ) )  =  ( ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( S  x.  ( U `
 x ) ) ) `  x )  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( T  x.  ( U `  x ) ) ) `
 x ) ) )
30 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  S  e.  CC )
31 simpl3l 1010 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  T  e.  CC )
3210ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( U : ( 1 ... N ) --> CC  ->  ( x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( U `  x
)  e.  CC ) )
339, 32sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( U `  x
)  e.  CC ) )
3433adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( x  e.  ( 1 ... N )  ->  ( U `  x )  e.  CC ) )
35343ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( U `  x
)  e.  CC ) )
3635imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( U `  x )  e.  CC )
3730, 31, 36adddird 8876 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( S  +  T
)  x.  ( U `
 x ) )  =  ( ( S  x.  ( U `  x ) )  +  ( T  x.  ( U `  x )
) ) )
38 simp1 955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
39 simp2 956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  S  e.  CC )
40 simp3r 984 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
4138, 39, 403jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )
4241adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )
43 mulone.1 . . . . . . . 8  |-  . t  =  ( . cv `  N )
4443ismulcv 25784 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( S . t U )  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( S  x.  ( U `  x )
) ) )
4542, 44syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( S . t U )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( S  x.  ( U `  x ) ) ) )
4645fveq1d 5543 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( S . t U ) `  x
)  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( S  x.  ( U `
 x ) ) ) `  x ) )
47 simp3l 983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
4838, 47, 403jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )
4948adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( N  e.  NN  /\  T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )
5043ismulcv 25784 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( T . t U )  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( T  x.  ( U `  x )
) ) )
5149, 50syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( T . t U )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( T  x.  ( U `  x ) ) ) )
5251fveq1d 5543 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( T . t U ) `  x
)  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( T  x.  ( U `
 x ) ) ) `  x ) )
5346, 52oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( S . t U ) `  x
)  +  ( ( T . t U
) `  x )
)  =  ( ( ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( S  x.  ( U `  x )
) ) `  x
)  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( T  x.  ( U `
 x ) ) ) `  x ) ) )
5429, 37, 533eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( S  +  T
)  x.  ( U `
 x ) )  =  ( ( ( S . t U
) `  x )  +  ( ( T . t U ) `
 x ) ) )
5554mpteq2dva 4122 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( S  +  T
)  x.  ( U `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( S . t U ) `  x
)  +  ( ( T . t U
) `  x )
) ) )
56 addcl 8835 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( S  +  T
)  e.  CC )
5756ex 423 . . . . . 6  |-  ( S  e.  CC  ->  ( T  e.  CC  ->  ( S  +  T )  e.  CC ) )
5857adantrd 454 . . . . 5  |-  ( S  e.  CC  ->  (
( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( S  +  T )  e.  CC ) )
5958a1i 10 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S  e.  CC  ->  ( ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( S  +  T )  e.  CC ) ) )
60593imp 1145 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( S  +  T )  e.  CC )
6143ismulcv 25784 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( S  +  T
)  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( S  +  T ) . t U )  =  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( S  +  T
)  x.  ( U `
 x ) ) ) )
6238, 60, 40, 61syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( S  +  T
) . t U
)  =  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( S  +  T )  x.  ( U `  x ) ) ) )
6343clsmulcv 25785 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( S . t U )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
64633adant3l 1178 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( S . t U )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )
6543clsmulcv 25785 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( T . t U )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
66653expb 1152 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( T . t U )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
67663adant2 974 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( T . t U )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )
68 distmlva.1 . . . 4  |-  + w  =  (  + cv `  N )
6968isaddrv 25749 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( S . t U
)  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( T . t U
)  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( ( S . t U ) + w ( T . t U ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( S . t U ) `  x
)  +  ( ( T . t U
) `  x )
) ) )
7038, 64, 67, 69syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( S . t U ) + w
( T . t U ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( S . t U ) `
 x )  +  ( ( T . t U ) `  x
) ) ) )
7155, 62, 703eqtr4d 2338 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( S  +  T
) . t U
)  =  ( ( S . t U
) + w ( T . t U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   CCcc 8751   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   NNcn 9762   ...cfz 10798    + cvcplcv 25747   . cvcsmcv 25782
This theorem is referenced by:  tcnvec  25793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-addcl 8813  ax-mulcl 8815  ax-mulcom 8817  ax-distr 8820
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-addcv 25748  df-mulcv 25783
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