MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgcl Unicode version

Theorem ditgcl 19306
Description: Closure of a directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
ditgcl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
ditgcl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
ditgcl.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
ditgcl.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  C  e.  V )
ditgcl.i  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
ditgcl  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  e.  CC )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x    x, V    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem ditgcl
StepHypRef Expression
1 ditgcl.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
2 ditgcl.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
3 ditgcl.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
4 elicc2 10804 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) ) )
52, 3, 4syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) ) )
61, 5mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) )
76simp1d 967 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
8 ditgcl.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
9 elicc2 10804 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) ) )
102, 3, 9syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) ) )
118, 10mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) )
1211simp1d 967 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
13 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
1413ditgpos 19304 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  =  S. ( A (,) B ) C  _d x )
152rexrd 8968 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
166simp2d 968 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  A )
17 iooss1 10780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  A )  ->  ( A (,) B )  C_  ( X (,) B ) )
1815, 16, 17syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( X (,) B ) )
193rexrd 8968 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
2011simp3d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  <_  Y )
21 iooss2 10781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR*  /\  B  <_  Y )  ->  ( X (,) B )  C_  ( X (,) Y ) )
2219, 20, 21syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X (,) B
)  C_  ( X (,) Y ) )
2318, 22sstrd 3265 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( X (,) Y ) )
2423sselda 3256 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( X (,) Y ) )
25 ditgcl.c . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  C  e.  V )
2624, 25syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  V )
27 ioombl 19020 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
2827a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
29 ditgcl.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )  e.  L ^1 )
3023, 28, 25, 29iblss 19257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  C )  e.  L ^1 )
3126, 30itgcl 19236 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  e.  CC )
3231adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  e.  CC )
3314, 32eqeltrd 2432 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  e.  CC )
34 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  B  <_  A )
3512adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  B  e.  RR )
367adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  A  e.  RR )
3734, 35, 36ditgneg 19305 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  =  -u S. ( B (,) A ) C  _d x )
3811simp2d 968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  <_  B )
39 iooss1 10780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  B )  ->  ( B (,) A )  C_  ( X (,) A ) )
4015, 38, 39syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B (,) A
)  C_  ( X (,) A ) )
416simp3d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  Y )
42 iooss2 10781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  RR*  /\  A  <_  Y )  ->  ( X (,) A )  C_  ( X (,) Y ) )
4319, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X (,) A
)  C_  ( X (,) Y ) )
4440, 43sstrd 3265 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B (,) A
)  C_  ( X (,) Y ) )
4544sselda 3256 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) A ) )  ->  x  e.  ( X (,) Y ) )
4645, 25syldan 456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) A ) )  ->  C  e.  V )
47 ioombl 19020 . . . . . . . 8  |-  ( B (,) A )  e. 
dom  vol
4847a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B (,) A
)  e.  dom  vol )
4944, 48, 25, 29iblss 19257 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,) A ) 
|->  C )  e.  L ^1 )
5046, 49itgcl 19236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) A ) C  _d x  e.  CC )
5150negcld 9231 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u S. ( B (,) A ) C  _d x  e.  CC )
5251adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  -u S. ( B (,) A ) C  _d x  e.  CC )
5337, 52eqeltrd 2432 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  e.  CC )
547, 12, 33, 53lecasei 9013 1  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1710    C_ wss 3228   class class class wbr 4102    e. cmpt 4156   dom cdm 4768  (class class class)co 5942   CCcc 8822   RRcr 8823   RR*cxr 8953    <_ cle 8955   -ucneg 9125   (,)cioo 10745   [,]cicc 10748   volcvol 18921   L ^1cibl 19070   S.citg 19071   S__cdit 19072
This theorem is referenced by:  ditgsplit  19309  itgsubstlem  19493
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-disj 4073  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-ofr 6163  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xadd 10542  df-ioo 10749  df-ico 10751  df-icc 10752  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-fl 11014  df-mod 11063  df-seq 11136  df-exp 11195  df-hash 11428  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-clim 12052  df-rlim 12053  df-sum 12250  df-xmet 16469  df-met 16470  df-ovol 18922  df-vol 18923  df-mbf 19073  df-itg1 19074  df-itg2 19075  df-ibl 19076  df-itg 19077  df-ditg 19078  df-0p 19123
  Copyright terms: Public domain W3C validator