MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgex Unicode version

Theorem ditgex 19202
Description: A directed integral is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ditgex  |-  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  e.  _V

Proof of Theorem ditgex
StepHypRef Expression
1 df-ditg 18980 . 2  |-  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  =  if ( A  <_  B ,  S. ( A (,) B
) C  _d x ,  -u S. ( B (,) A ) C  _d x )
2 itgex 19125 . . 3  |-  S. ( A (,) B ) C  _d x  e. 
_V
3 negex 9050 . . 3  |-  -u S. ( B (,) A ) C  _d x  e. 
_V
42, 3ifex 3623 . 2  |-  if ( A  <_  B ,  S. ( A (,) B
) C  _d x ,  -u S. ( B (,) A ) C  _d x )  e. 
_V
51, 4eqeltri 2353 1  |-  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   ifcif 3565   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858    <_ cle 8868   -ucneg 9038   (,)cioo 10656   S.citg 18973   S__cdit 18974
This theorem is referenced by:  itgsubstlem  19395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-uni 3828  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-neg 9040  df-sum 12159  df-itg 18979  df-ditg 18980
  Copyright terms: Public domain W3C validator