MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgneg Structured version   Unicode version

Theorem ditgneg 19744
Description: Value of the directed integral in the backward direction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgpos.1  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ditgneg.2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ditgneg.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ditgneg  |-  ( ph  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem ditgneg
StepHypRef Expression
1 ditgpos.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
21biantrurd 495 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  <_  A  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
3 ditgneg.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ditgneg.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
53, 4letri3d 9215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
62, 5bitr4d 248 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  <_  A  <->  A  =  B ) )
7 ditg0 19740 . . . . 5  |-  S__ [ B  ->  B ] C  _d x  =  0
8 neg0 9347 . . . . 5  |-  -u 0  =  0
97, 8eqtr4i 2459 . . . 4  |-  S__ [ B  ->  B ] C  _d x  =  -u 0
10 ditgeq2 19736 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  S__
[ B  ->  B ] C  _d x
)
11 oveq1 6088 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) B )  =  ( B (,) B
) )
12 iooid 10944 . . . . . . . 8  |-  ( B (,) B )  =  (/)
1311, 12syl6eq 2484 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) B )  =  (/) )
14 itgeq1 19664 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  =  (/)  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  =  S. (/) C  _d x )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  =  S. (/) C  _d x )
16 itg0 19671 . . . . . 6  |-  S. (/) C  _d x  =  0
1715, 16syl6eq 2484 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  =  0 )
1817negeqd 9300 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  -u S. ( A (,) B ) C  _d x  = 
-u 0 )
199, 10, 183eqtr4a 2494 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S. ( A (,) B
) C  _d x )
206, 19syl6bi 220 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  <_  A  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S. ( A (,) B ) C  _d x ) )
21 df-ditg 19517 . . 3  |-  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  if ( B  <_  A ,  S. ( B (,) A
) C  _d x ,  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )
22 iffalse 3746 . . 3  |-  ( -.  B  <_  A  ->  if ( B  <_  A ,  S. ( B (,) A ) C  _d x ,  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )  =  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )
2321, 22syl5eq 2480 . 2  |-  ( -.  B  <_  A  ->  S__
[ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )
2420, 23pm2.61d1 153 1  |-  ( ph  ->  S__ [ B  ->  A ] C  _d x  =  -u S. ( A (,) B ) C  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   (/)c0 3628   ifcif 3739   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    <_ cle 9121   -ucneg 9292   (,)cioo 10916   S.citg 19510   S__cdit 19511
This theorem is referenced by:  ditgcl  19745  ditgswap  19746
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xadd 10711  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-xmet 16695  df-met 16696  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512  df-itg1 19513  df-itg2 19514  df-itg 19516  df-ditg 19517  df-0p 19562
  Copyright terms: Public domain W3C validator