Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgsplit Structured version   Unicode version

Theorem ditgsplit 19753
 Description: This theorem is the raison d'être for the directed integral, because unlike itgspliticc 19731, there is no constraint on the ordering of the points in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgsplit.x
ditgsplit.y
ditgsplit.a
ditgsplit.b
ditgsplit.c
ditgsplit.d
ditgsplit.i
Assertion
Ref Expression
ditgsplit _ _ _
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ditgsplit
StepHypRef Expression
1 ditgsplit.a . . . 4
2 ditgsplit.x . . . . 5
3 ditgsplit.y . . . . 5
4 elicc2 10980 . . . . 5
52, 3, 4syl2anc 644 . . . 4
61, 5mpbid 203 . . 3
76simp1d 970 . 2
8 ditgsplit.b . . . 4
9 elicc2 10980 . . . . 5
102, 3, 9syl2anc 644 . . . 4
118, 10mpbid 203 . . 3
1211simp1d 970 . 2
14 ditgsplit.c . . . . . 6
15 elicc2 10980 . . . . . . 7
162, 3, 15syl2anc 644 . . . . . 6
1714, 16mpbid 203 . . . . 5
1817simp1d 970 . . . 4
2012ad2antrr 708 . . . 4
2118ad2antrr 708 . . . 4
22 ditgsplit.d . . . . . 6
23 ditgsplit.i . . . . . 6
24 biid 229 . . . . . 6
252, 3, 1, 8, 14, 22, 23, 24ditgsplitlem 19752 . . . . 5 _ _ _
2625adantlr 697 . . . 4 _ _ _
27 biid 229 . . . . . . . 8
282, 3, 1, 14, 8, 22, 23, 27ditgsplitlem 19752 . . . . . . 7 _ _ _
2928oveq1d 6099 . . . . . 6 _ _ _ _ _
302, 3, 1, 14, 22, 23ditgcl 19750 . . . . . . . . 9 _
312, 3, 14, 8, 22, 23ditgcl 19750 . . . . . . . . 9 _
322, 3, 8, 14, 22, 23ditgcl 19750 . . . . . . . . 9 _
3330, 31, 32addassd 9115 . . . . . . . 8 _ _ _ _ _ _
342, 3, 14, 8, 22, 23ditgswap 19751 . . . . . . . . . . 11 _ _
3534oveq2d 6100 . . . . . . . . . 10 _ _ _ _
3631negidd 9406 . . . . . . . . . 10 _ _
3735, 36eqtrd 2470 . . . . . . . . 9 _ _
3837oveq2d 6100 . . . . . . . 8 _ _ _ _
3930addid1d 9271 . . . . . . . 8 _ _
4033, 38, 393eqtrd 2474 . . . . . . 7 _ _ _ _
4140ad2antrr 708 . . . . . 6 _ _ _ _
4229, 41eqtr2d 2471 . . . . 5 _ _ _
4342adantllr 701 . . . 4 _ _ _
4420, 21, 26, 43lecasei 9184 . . 3 _ _ _
4540ad2antrr 708 . . . 4 _ _ _ _
46 ancom 439 . . . . . . . 8
472, 3, 14, 1, 8, 22, 23, 46ditgsplitlem 19752 . . . . . . 7 _ _ _
4847oveq2d 6100 . . . . . 6 _ _ _ _ _
492, 3, 1, 14, 22, 23ditgswap 19751 . . . . . . . . . . 11 _ _
5049oveq2d 6100 . . . . . . . . . 10 _ _ _ _
5130negidd 9406 . . . . . . . . . 10 _ _
5250, 51eqtrd 2470 . . . . . . . . 9 _ _
5352oveq1d 6099 . . . . . . . 8 _ _ _ _
542, 3, 14, 1, 22, 23ditgcl 19750 . . . . . . . . 9 _
552, 3, 1, 8, 22, 23ditgcl 19750 . . . . . . . . 9 _
5630, 54, 55addassd 9115 . . . . . . . 8 _ _ _ _ _ _
5755addid2d 9272 . . . . . . . 8 _ _
5853, 56, 573eqtr3d 2478 . . . . . . 7 _ _ _ _
5958ad2antrr 708 . . . . . 6 _ _ _ _
6048, 59eqtrd 2470 . . . . 5 _ _ _
6160oveq1d 6099 . . . 4 _ _ _ _ _
6245, 61eqtr3d 2472 . . 3 _ _ _
6313, 19, 44, 62lecasei 9184 . 2 _ _ _
66 biid 229 . . . . . 6
672, 3, 8, 1, 14, 22, 23, 66ditgsplitlem 19752 . . . . 5 _ _ _
6867oveq2d 6100 . . . 4 _ _ _ _ _
692, 3, 1, 8, 22, 23ditgswap 19751 . . . . . . . . 9 _ _
7069oveq2d 6100 . . . . . . . 8 _ _ _ _
7155negidd 9406 . . . . . . . 8 _ _
7270, 71eqtrd 2470 . . . . . . 7 _ _
7372oveq1d 6099 . . . . . 6 _ _ _ _
742, 3, 8, 1, 22, 23ditgcl 19750 . . . . . . 7 _
7555, 74, 30addassd 9115 . . . . . 6 _ _ _ _ _ _
7630addid2d 9272 . . . . . 6 _ _
7773, 75, 763eqtr3d 2478 . . . . 5 _ _ _ _
7877ad2antrr 708 . . . 4 _ _ _ _
7968, 78eqtr2d 2471 . . 3 _ _ _
8012ad2antrr 708 . . . 4
8118ad2antrr 708 . . . 4
82 ancom 439 . . . . . . . . . 10
832, 3, 8, 14, 1, 22, 23, 82ditgsplitlem 19752 . . . . . . . . 9 _ _ _
8483oveq1d 6099 . . . . . . . 8 _ _ _ _ _
8532, 54, 30addassd 9115 . . . . . . . . . 10 _ _ _ _ _ _
862, 3, 14, 1, 22, 23ditgswap 19751 . . . . . . . . . . . . 13 _ _
8786oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . 12 _ _ _ _
8854negidd 9406 . . . . . . . . . . . 12 _ _
8987, 88eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11 _ _
9089oveq2d 6100 . . . . . . . . . 10 _ _ _ _
9132addid1d 9271 . . . . . . . . . 10 _ _
9285, 90, 913eqtrd 2474 . . . . . . . . 9 _ _ _ _
9392ad2antrr 708 . . . . . . . 8 _ _ _ _
9484, 93eqtr2d 2471 . . . . . . 7 _ _ _
9594oveq2d 6100 . . . . . 6 _ _ _ _ _
9677ad2antrr 708 . . . . . 6 _ _ _ _
9795, 96eqtr2d 2471 . . . . 5 _ _ _
9897adantllr 701 . . . 4 _ _ _
99 ancom 439 . . . . . . . . . . . 12
1002, 3, 14, 8, 1, 22, 23, 99ditgsplitlem 19752 . . . . . . . . . . 11 _ _ _
101100oveq1d 6099 . . . . . . . . . 10 _ _ _ _ _
10231, 74, 55addassd 9115 . . . . . . . . . . . 12 _ _ _ _ _ _
1032, 3, 8, 1, 22, 23ditgswap 19751 . . . . . . . . . . . . . . 15 _ _
104103oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . 14 _ _ _ _
10574negidd 9406 . . . . . . . . . . . . . 14 _ _
106104, 105eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13 _ _
107106oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . 12 _ _ _ _
10831addid1d 9271 . . . . . . . . . . . 12 _ _
109102, 107, 1083eqtrd 2474 . . . . . . . . . . 11 _ _ _ _
110109ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 _ _ _ _
111101, 110eqtr2d 2471 . . . . . . . . 9 _ _ _
112111oveq2d 6100 . . . . . . . 8 _ _ _ _ _
11358ad2antrr 708 . . . . . . . 8 _ _ _ _
114112, 113eqtr2d 2471 . . . . . . 7 _ _ _
115114oveq1d 6099 . . . . . 6 _ _ _ _ _
11640ad2antrr 708 . . . . . 6 _ _ _ _
117115, 116eqtr2d 2471 . . . . 5 _ _ _
118117adantlr 697 . . . 4 _ _ _
11980, 81, 98, 118lecasei 9184 . . 3 _ _ _
12064, 65, 79, 119lecasei 9184 . 2 _ _ _
1217, 12, 63, 120lecasei 9184 1 _ _ _
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   class class class wbr 4215   cmpt 4269  (class class class)co 6084  cr 8994  cc0 8995   caddc 8998   cle 9126  cneg 9297  cioo 10921  cicc 10924  cibl 19514  _cdit 19738 This theorem is referenced by:  itgsubstlem  19937 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4186  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cmp 17455  df-ovol 19366  df-vol 19367  df-mbf 19516  df-itg1 19517  df-itg2 19518  df-ibl 19519  df-itg 19520  df-0p 19565  df-ditg 19739
 Copyright terms: Public domain W3C validator