MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgsplitlem Unicode version

Theorem ditgsplitlem 19226
Description: Lemma for ditgsplit 19227. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgsplit.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
ditgsplit.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
ditgsplit.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
ditgsplit.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
ditgsplit.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X [,] Y ) )
ditgsplit.d  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  D  e.  V )
ditgsplit.i  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
ditgsplit.1  |-  ( ( ps  /\  th )  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
Assertion
Ref Expression
ditgsplitlem  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  th )  ->  S__ [ A  ->  C ] D  _d x  =  ( S__ [ A  ->  B ] D  _d x  +  S__ [ B  ->  C ] D  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    ph, x    ps, x    th, x    x, V    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem ditgsplitlem
StepHypRef Expression
1 ditgsplit.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
2 ditgsplit.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
3 ditgsplit.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
4 elicc2 10731 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) ) )
52, 3, 4syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) ) )
61, 5mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) )
76simp1d 967 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
87adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  A  e.  RR )
9 ditgsplit.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X [,] Y ) )
10 elicc2 10731 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( C  e.  RR  /\  X  <_  C  /\  C  <_  Y ) ) )
112, 3, 10syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( C  e.  RR  /\  X  <_  C  /\  C  <_  Y ) ) )
129, 11mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  X  <_  C  /\  C  <_  Y ) )
1312simp1d 967 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1413adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  C  e.  RR )
15 ditgsplit.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
16 elicc2 10731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) ) )
172, 3, 16syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) ) )
1815, 17mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) )
1918simp1d 967 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2019adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  B  e.  RR )
21 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( ps  /\  th ) )
22 ditgsplit.1 . . . . . . 7  |-  ( ( ps  /\  th )  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
2321, 22sylib 188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
2423simpld 445 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  A  <_  B )
2523simprd 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  B  <_  C )
26 elicc2 10731 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
277, 13, 26syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
2827adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
2920, 24, 25, 28mpbir3and 1135 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
302rexrd 8897 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
316simp2d 968 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  A )
32 iooss1 10707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  A )  ->  ( A (,) C )  C_  ( X (,) C ) )
3330, 31, 32syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) C
)  C_  ( X (,) C ) )
343rexrd 8897 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
3512simp3d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <_  Y )
36 iooss2 10708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR*  /\  C  <_  Y )  ->  ( X (,) C )  C_  ( X (,) Y ) )
3734, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X (,) C
)  C_  ( X (,) Y ) )
3833, 37sstrd 3202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) C
)  C_  ( X (,) Y ) )
3938sselda 3193 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  x  e.  ( X (,) Y ) )
40 ditgsplit.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
41 iblmbf 19138 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  D )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e. MblFn )
4240, 41syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e. MblFn )
43 ditgsplit.d . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  D  e.  V )
4442, 43mbfmptcl 19008 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  D  e.  CC )
4539, 44syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
4645adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( ps  /\  th ) )  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
47 iooss1 10707 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  A )  ->  ( A (,) B )  C_  ( X (,) B ) )
4830, 31, 47syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( X (,) B ) )
4918simp3d 969 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  <_  Y )
50 iooss2 10708 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  RR*  /\  B  <_  Y )  ->  ( X (,) B )  C_  ( X (,) Y ) )
5134, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X (,) B
)  C_  ( X (,) Y ) )
5248, 51sstrd 3202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( X (,) Y ) )
53 ioombl 18938 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
5453a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
5552, 54, 43, 40iblss 19175 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
5655adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
5718simp2d 968 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  <_  B )
58 iooss1 10707 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  B )  ->  ( B (,) C )  C_  ( X (,) C ) )
5930, 57, 58syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( X (,) C ) )
6059, 37sstrd 3202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( X (,) Y ) )
61 ioombl 18938 . . . . . . 7  |-  ( B (,) C )  e. 
dom  vol
6261a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  e.  dom  vol )
6360, 62, 43, 40iblss 19175 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
6463adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
658, 14, 29, 46, 56, 64itgsplitioo 19208 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S. ( A (,) C
) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C
) D  _d x ) )
668, 20, 14, 24, 25letrd 8989 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  A  <_  C )
6766ditgpos 19222 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S__ [ A  ->  C ] D  _d x  =  S. ( A (,) C ) D  _d x )
6824ditgpos 19222 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S__ [ A  ->  B ] D  _d x  =  S. ( A (,) B ) D  _d x )
6925ditgpos 19222 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S__ [ B  ->  C ] D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
7068, 69oveq12d 5892 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( S__ [ A  ->  B ] D  _d x  +  S__ [ B  ->  C ] D  _d x )  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
7165, 67, 703eqtr4d 2338 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S__ [ A  ->  C ] D  _d x  =  ( S__ [ A  ->  B ] D  _d x  +  S__ [ B  ->  C ] D  _d x ) )
7271anassrs 629 1  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  th )  ->  S__ [ A  ->  C ] D  _d x  =  ( S__ [ A  ->  B ] D  _d x  +  S__ [ B  ->  C ] D  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752    + caddc 8756   RR*cxr 8882    <_ cle 8884   (,)cioo 10672   [,]cicc 10675   volcvol 18839  MblFncmbf 18985   L ^1cibl 18988   S.citg 18989   S__cdit 18990
This theorem is referenced by:  ditgsplit  19227
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-itg 18995  df-ditg 18996  df-0p 19041
  Copyright terms: Public domain W3C validator