MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgsplitlem Unicode version

Theorem ditgsplitlem 19210
Description: Lemma for ditgsplit 19211. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgsplit.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
ditgsplit.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
ditgsplit.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
ditgsplit.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
ditgsplit.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X [,] Y ) )
ditgsplit.d  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  D  e.  V )
ditgsplit.i  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
ditgsplit.1  |-  ( ( ps  /\  th )  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
Assertion
Ref Expression
ditgsplitlem  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  th )  ->  S__ [ A  ->  C ] D  _d x  =  ( S__ [ A  ->  B ] D  _d x  +  S__ [ B  ->  C ] D  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    ph, x    ps, x    th, x    x, V    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem ditgsplitlem
StepHypRef Expression
1 ditgsplit.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
2 ditgsplit.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
3 ditgsplit.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
4 elicc2 10715 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) ) )
52, 3, 4syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) ) )
61, 5mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) )
76simp1d 967 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
87adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  A  e.  RR )
9 ditgsplit.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X [,] Y ) )
10 elicc2 10715 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( C  e.  RR  /\  X  <_  C  /\  C  <_  Y ) ) )
112, 3, 10syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( C  e.  RR  /\  X  <_  C  /\  C  <_  Y ) ) )
129, 11mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  X  <_  C  /\  C  <_  Y ) )
1312simp1d 967 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1413adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  C  e.  RR )
15 ditgsplit.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
16 elicc2 10715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) ) )
172, 3, 16syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) ) )
1815, 17mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) )
1918simp1d 967 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2019adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  B  e.  RR )
21 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( ps  /\  th ) )
22 ditgsplit.1 . . . . . . 7  |-  ( ( ps  /\  th )  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
2321, 22sylib 188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
2423simpld 445 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  A  <_  B )
2523simprd 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  B  <_  C )
26 elicc2 10715 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
277, 13, 26syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
2827adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
2920, 24, 25, 28mpbir3and 1135 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
302rexrd 8881 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
316simp2d 968 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  A )
32 iooss1 10691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  A )  ->  ( A (,) C )  C_  ( X (,) C ) )
3330, 31, 32syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) C
)  C_  ( X (,) C ) )
343rexrd 8881 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
3512simp3d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <_  Y )
36 iooss2 10692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR*  /\  C  <_  Y )  ->  ( X (,) C )  C_  ( X (,) Y ) )
3734, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X (,) C
)  C_  ( X (,) Y ) )
3833, 37sstrd 3189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) C
)  C_  ( X (,) Y ) )
3938sselda 3180 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  x  e.  ( X (,) Y ) )
40 ditgsplit.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
41 iblmbf 19122 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  D )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e. MblFn )
4240, 41syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e. MblFn )
43 ditgsplit.d . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  D  e.  V )
4442, 43mbfmptcl 18992 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  D  e.  CC )
4539, 44syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
4645adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( ps  /\  th ) )  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
47 iooss1 10691 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  A )  ->  ( A (,) B )  C_  ( X (,) B ) )
4830, 31, 47syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( X (,) B ) )
4918simp3d 969 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  <_  Y )
50 iooss2 10692 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  RR*  /\  B  <_  Y )  ->  ( X (,) B )  C_  ( X (,) Y ) )
5134, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X (,) B
)  C_  ( X (,) Y ) )
5248, 51sstrd 3189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( X (,) Y ) )
53 ioombl 18922 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
5453a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
5552, 54, 43, 40iblss 19159 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
5655adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
5718simp2d 968 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  <_  B )
58 iooss1 10691 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  B )  ->  ( B (,) C )  C_  ( X (,) C ) )
5930, 57, 58syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( X (,) C ) )
6059, 37sstrd 3189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( X (,) Y ) )
61 ioombl 18922 . . . . . . 7  |-  ( B (,) C )  e. 
dom  vol
6261a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  e.  dom  vol )
6360, 62, 43, 40iblss 19159 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
6463adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
658, 14, 29, 46, 56, 64itgsplitioo 19192 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S. ( A (,) C
) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C
) D  _d x ) )
668, 20, 14, 24, 25letrd 8973 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  A  <_  C )
6766ditgpos 19206 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S__ [ A  ->  C ] D  _d x  =  S. ( A (,) C ) D  _d x )
6824ditgpos 19206 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S__ [ A  ->  B ] D  _d x  =  S. ( A (,) B ) D  _d x )
6925ditgpos 19206 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S__ [ B  ->  C ] D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
7068, 69oveq12d 5876 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( S__ [ A  ->  B ] D  _d x  +  S__ [ B  ->  C ] D  _d x )  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
7165, 67, 703eqtr4d 2325 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S__ [ A  ->  C ] D  _d x  =  ( S__ [ A  ->  B ] D  _d x  +  S__ [ B  ->  C ] D  _d x ) )
7271anassrs 629 1  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  th )  ->  S__ [ A  ->  C ] D  _d x  =  ( S__ [ A  ->  B ] D  _d x  +  S__ [ B  ->  C ] D  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736    + caddc 8740   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   volcvol 18823  MblFncmbf 18969   L ^1cibl 18972   S.citg 18973   S__cdit 18974
This theorem is referenced by:  ditgsplit  19211
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977  df-ibl 18978  df-itg 18979  df-ditg 18980  df-0p 19025
  Copyright terms: Public domain W3C validator