MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgsplitlem Structured version   Unicode version

Theorem ditgsplitlem 19748
Description: Lemma for ditgsplit 19749. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgsplit.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
ditgsplit.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
ditgsplit.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
ditgsplit.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
ditgsplit.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X [,] Y ) )
ditgsplit.d  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  D  e.  V )
ditgsplit.i  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
ditgsplit.1  |-  ( ( ps  /\  th )  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
Assertion
Ref Expression
ditgsplitlem  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  th )  ->  S__ [ A  ->  C ] D  _d x  =  ( S__ [ A  ->  B ] D  _d x  +  S__ [ B  ->  C ] D  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    ph, x    ps, x    th, x    x, V    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem ditgsplitlem
StepHypRef Expression
1 ditgsplit.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
2 ditgsplit.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
3 ditgsplit.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
4 elicc2 10976 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) ) )
52, 3, 4syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) ) )
61, 5mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) )
76simp1d 970 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
87adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  A  e.  RR )
9 ditgsplit.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X [,] Y ) )
10 elicc2 10976 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( C  e.  RR  /\  X  <_  C  /\  C  <_  Y ) ) )
112, 3, 10syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( C  e.  RR  /\  X  <_  C  /\  C  <_  Y ) ) )
129, 11mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  X  <_  C  /\  C  <_  Y ) )
1312simp1d 970 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1413adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  C  e.  RR )
15 ditgsplit.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
16 elicc2 10976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) ) )
172, 3, 16syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) ) )
1815, 17mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) )
1918simp1d 970 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2019adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  B  e.  RR )
21 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( ps  /\  th ) )
22 ditgsplit.1 . . . . . . 7  |-  ( ( ps  /\  th )  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
2321, 22sylib 190 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
2423simpld 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  A  <_  B )
2523simprd 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  B  <_  C )
26 elicc2 10976 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
277, 13, 26syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
2827adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
2920, 24, 25, 28mpbir3and 1138 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
302rexrd 9135 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
316simp2d 971 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  A )
32 iooss1 10952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  A )  ->  ( A (,) C )  C_  ( X (,) C ) )
3330, 31, 32syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) C
)  C_  ( X (,) C ) )
343rexrd 9135 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
3512simp3d 972 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <_  Y )
36 iooss2 10953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR*  /\  C  <_  Y )  ->  ( X (,) C )  C_  ( X (,) Y ) )
3734, 35, 36syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X (,) C
)  C_  ( X (,) Y ) )
3833, 37sstrd 3359 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) C
)  C_  ( X (,) Y ) )
3938sselda 3349 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  x  e.  ( X (,) Y ) )
40 ditgsplit.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
41 iblmbf 19660 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  D )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e. MblFn )
4240, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e. MblFn )
43 ditgsplit.d . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  D  e.  V )
4442, 43mbfmptcl 19530 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  D  e.  CC )
4539, 44syldan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
4645adantlr 697 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( ps  /\  th ) )  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
47 iooss1 10952 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  A )  ->  ( A (,) B )  C_  ( X (,) B ) )
4830, 31, 47syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( X (,) B ) )
4918simp3d 972 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  <_  Y )
50 iooss2 10953 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  RR*  /\  B  <_  Y )  ->  ( X (,) B )  C_  ( X (,) Y ) )
5134, 49, 50syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X (,) B
)  C_  ( X (,) Y ) )
5248, 51sstrd 3359 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( X (,) Y ) )
53 ioombl 19460 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
5453a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
5552, 54, 43, 40iblss 19697 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
5655adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
5718simp2d 971 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  <_  B )
58 iooss1 10952 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  B )  ->  ( B (,) C )  C_  ( X (,) C ) )
5930, 57, 58syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( X (,) C ) )
6059, 37sstrd 3359 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( X (,) Y ) )
61 ioombl 19460 . . . . . . 7  |-  ( B (,) C )  e. 
dom  vol
6261a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  e.  dom  vol )
6360, 62, 43, 40iblss 19697 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
6463adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
658, 14, 29, 46, 56, 64itgsplitioo 19730 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S. ( A (,) C
) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C
) D  _d x ) )
668, 20, 14, 24, 25letrd 9228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  A  <_  C )
6766ditgpos 19744 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S__ [ A  ->  C ] D  _d x  =  S. ( A (,) C ) D  _d x )
6824ditgpos 19744 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S__ [ A  ->  B ] D  _d x  =  S. ( A (,) B ) D  _d x )
6925ditgpos 19744 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S__ [ B  ->  C ] D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
7068, 69oveq12d 6100 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  -> 
( S__ [ A  ->  B ] D  _d x  +  S__ [ B  ->  C ] D  _d x )  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
7165, 67, 703eqtr4d 2479 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\ 
th ) )  ->  S__ [ A  ->  C ] D  _d x  =  ( S__ [ A  ->  B ] D  _d x  +  S__ [ B  ->  C ] D  _d x ) )
7271anassrs 631 1  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  th )  ->  S__ [ A  ->  C ] D  _d x  =  ( S__ [ A  ->  B ] D  _d x  +  S__ [ B  ->  C ] D  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3321   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   dom cdm 4879  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990    + caddc 8994   RR*cxr 9120    <_ cle 9122   (,)cioo 10917   [,]cicc 10920   volcvol 19361  MblFncmbf 19507   L ^1cibl 19510   S.citg 19511   S__cdit 19512
This theorem is referenced by:  ditgsplit  19749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-disj 4184  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-ofr 6307  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-rest 13651  df-topgen 13668  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-cmp 17451  df-ovol 19362  df-vol 19363  df-mbf 19513  df-itg1 19514  df-itg2 19515  df-ibl 19516  df-itg 19517  df-ditg 19518  df-0p 19563
  Copyright terms: Public domain W3C validator