MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  div23d Unicode version

Theorem div23d 9589
Description: A commutative/associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
div23d  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  x.  B ) )

Proof of Theorem div23d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 div23 9459 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  x.  B ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1186 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  x.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753    x. cmul 8758    / cdiv 9439
This theorem is referenced by:  bcpasc  11349  abslem2  11839  geolim  12342  efaddlem  12390  eftlub  12405  bitsinv1lem  12648  pjthlem1  18817  itg2monolem3  19123  dvmulbr  19304  dvtaylp  19765  itgulm  19800  tanregt0  19917  logtayl2  20025  cxpeq  20113  dcubic2  20156  cubic2  20160  dquartlem1  20163  dquartlem2  20164  dquart  20165  quart1lem  20167  quart1  20168  dvatan  20247  atantayl  20249  jensenlem2  20298  ftalem2  20327  bclbnd  20535  bposlem9  20547  lgseisenlem4  20607  lgsquadlem1  20609  lgsquadlem2  20610  dchrvmasumlem1  20660  mulog2sumlem2  20700  2vmadivsumlem  20705  selberg3lem1  20722  selberg4lem1  20725  selberg4  20726  selberg3r  20734  pntrlog2bndlem4  20745  pntrlog2bndlem5  20746  pntibndlem2  20756  pntlemo  20772  pjhthlem1  21986  sinccvglem  24020  faclimlem9  24125  brbtwn2  24605  colinearalg  24610  axsegconlem10  24626  axpaschlem  24640  axcontlem8  24671  bpolydiflem  24861  itgsinexp  27852  stirlinglem3  27928  stirlinglem4  27929  stirlinglem7  27932
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440
  Copyright terms: Public domain W3C validator