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Theorem divalgb 12603
Description: Express the division algorithm as stated in divalg 12602 in terms of  ||. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalgb  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E! r  e.  NN0  ( r  < 
( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) ) )
Distinct variable groups:    D, q,
r    N, q, r

Proof of Theorem divalgb
StepHypRef Expression
1 zsubcl 10061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( N  -  r
)  e.  ZZ )
2 divides 12533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( N  -  r
)  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r
)  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r ) ) )
31, 2sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ ) )  ->  ( D  ||  ( N  -  r
)  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r ) ) )
433impb 1147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D )  =  ( N  -  r ) ) )
543com12 1155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D )  =  ( N  -  r ) ) )
6 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  e.  ZZ  ->  r  e.  CC )
8 zmulcl 10066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( q  x.  D
)  e.  ZZ )
98zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( q  x.  D
)  e.  CC )
10 subadd 9054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  CC  /\  r  e.  CC  /\  (
q  x.  D )  e.  CC )  -> 
( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <-> 
( r  +  ( q  x.  D ) )  =  N ) )
116, 7, 9, 10syl3an 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <->  ( r  +  ( q  x.  D ) )  =  N ) )
12 addcom 8998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( r  e.  CC  /\  ( q  x.  D
)  e.  CC )  ->  ( r  +  ( q  x.  D
) )  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )
137, 9, 12syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  ( r  +  ( q  x.  D ) )  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
14133adant1 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( r  +  ( q  x.  D ) )  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
1514eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( (
r  +  ( q  x.  D ) )  =  N  <->  ( (
q  x.  D )  +  r )  =  N ) )
1611, 15bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <->  ( (
q  x.  D )  +  r )  =  N ) )
17 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <->  ( q  x.  D )  =  ( N  -  r ) )
18 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( q  x.  D
)  +  r )  =  N  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
1916, 17, 183bitr3g 278 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( (
q  x.  D )  =  ( N  -  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
20193expia 1153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) )
2120exp3acom23 1362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  e.  ZZ  ->  ( q  e.  ZZ  ->  ( ( q  x.  D )  =  ( N  -  r )  <-> 
N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) ) )
22213impia 1148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
q  e.  ZZ  ->  ( ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) )
2322imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  q  e.  ZZ )  ->  ( ( q  x.  D )  =  ( N  -  r
)  <->  N  =  (
( q  x.  D
)  +  r ) ) )
2423rexbidva 2560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
25243com23 1157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
265, 25bitrd 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
2726anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  (
( ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  D  ||  ( N  -  r
) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) )
28 df-3an 936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
2928rexbii 2568 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E. q  e.  ZZ  ( ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
30 r19.42v 2694 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  N  =  ( (
q  x.  D )  +  r ) )  <-> 
( ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
3129, 30bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
3227, 31syl6rbbr 255 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) )
33 anass 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  D  ||  ( N  -  r ) )  <->  ( 0  <_  r  /\  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) )
3432, 33syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( 0  <_  r  /\  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) ) )
35343expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  <->  ( 0  <_ 
r  /\  ( r  <  ( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) ) ) )
3635reubidva 2723 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  <->  E! r  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
37 elnn0z 10036 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  NN0  <->  ( r  e.  ZZ  /\  0  <_ 
r ) )
3837anbi1i 676 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
( ( r  e.  ZZ  /\  0  <_ 
r )  /\  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) )
39 anass 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( r  e.  ZZ  /\  0  <_  r )  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
( r  e.  ZZ  /\  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
4038, 39bitri 240 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
( r  e.  ZZ  /\  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
4140eubii 2152 . . . 4  |-  ( E! r ( r  e. 
NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) )  <->  E! r
( r  e.  ZZ  /\  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
42 df-reu 2550 . . . 4  |-  ( E! r  e.  NN0  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) )  <->  E! r
( r  e.  NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) )
43 df-reu 2550 . . . 4  |-  ( E! r  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
E! r ( r  e.  ZZ  /\  (
0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
4441, 42, 433bitr4ri 269 . . 3  |-  ( E! r  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
E! r  e.  NN0  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )
4536, 44syl6bb 252 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  <->  E! r  e.  NN0  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) )
46453adant3 975 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E! r  e.  NN0  ( r  < 
( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E!weu 2143    =/= wne 2446   E.wrex 2544   E!wreu 2545   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   abscabs 11719    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  divalg2  12604
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-dvds 12532
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