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Theorem divalgb 12887
Description: Express the division algorithm as stated in divalg 12886 in terms of  ||. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalgb  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E! r  e.  NN0  ( r  < 
( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) ) )
Distinct variable groups:    D, q,
r    N, q, r

Proof of Theorem divalgb
StepHypRef Expression
1 zsubcl 10283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( N  -  r
)  e.  ZZ )
2 divides 12817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( N  -  r
)  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r
)  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r ) ) )
31, 2sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ ) )  ->  ( D  ||  ( N  -  r
)  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r ) ) )
433impb 1149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D )  =  ( N  -  r ) ) )
543com12 1157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D )  =  ( N  -  r ) ) )
6 zcn 10251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 zcn 10251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  e.  ZZ  ->  r  e.  CC )
8 zmulcl 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( q  x.  D
)  e.  ZZ )
98zcnd 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( q  x.  D
)  e.  CC )
10 subadd 9272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  CC  /\  r  e.  CC  /\  (
q  x.  D )  e.  CC )  -> 
( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <-> 
( r  +  ( q  x.  D ) )  =  N ) )
116, 7, 9, 10syl3an 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <->  ( r  +  ( q  x.  D ) )  =  N ) )
12 addcom 9216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( r  e.  CC  /\  ( q  x.  D
)  e.  CC )  ->  ( r  +  ( q  x.  D
) )  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )
137, 9, 12syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  ( r  +  ( q  x.  D ) )  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
14133adant1 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( r  +  ( q  x.  D ) )  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
1514eqeq1d 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( (
r  +  ( q  x.  D ) )  =  N  <->  ( (
q  x.  D )  +  r )  =  N ) )
1611, 15bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <->  ( (
q  x.  D )  +  r )  =  N ) )
17 eqcom 2414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <->  ( q  x.  D )  =  ( N  -  r ) )
18 eqcom 2414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( q  x.  D
)  +  r )  =  N  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
1916, 17, 183bitr3g 279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( (
q  x.  D )  =  ( N  -  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
20193expia 1155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) )
2120exp3acom23 1378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  e.  ZZ  ->  ( q  e.  ZZ  ->  ( ( q  x.  D )  =  ( N  -  r )  <-> 
N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) ) )
22213impia 1150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
q  e.  ZZ  ->  ( ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) )
2322imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  q  e.  ZZ )  ->  ( ( q  x.  D )  =  ( N  -  r
)  <->  N  =  (
( q  x.  D
)  +  r ) ) )
2423rexbidva 2691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
25243com23 1159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
265, 25bitrd 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
2726anbi2d 685 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  (
( ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  D  ||  ( N  -  r
) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) )
28 df-3an 938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
2928rexbii 2699 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E. q  e.  ZZ  ( ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
30 r19.42v 2830 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  N  =  ( (
q  x.  D )  +  r ) )  <-> 
( ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
3129, 30bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
3227, 31syl6rbbr 256 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) )
33 anass 631 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  D  ||  ( N  -  r ) )  <->  ( 0  <_  r  /\  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) )
3432, 33syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( 0  <_  r  /\  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) ) )
35343expa 1153 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  <->  ( 0  <_ 
r  /\  ( r  <  ( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) ) ) )
3635reubidva 2859 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  <->  E! r  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
37 elnn0z 10258 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  NN0  <->  ( r  e.  ZZ  /\  0  <_ 
r ) )
3837anbi1i 677 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
( ( r  e.  ZZ  /\  0  <_ 
r )  /\  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) )
39 anass 631 . . . . . 6  |-  ( ( ( r  e.  ZZ  /\  0  <_  r )  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
( r  e.  ZZ  /\  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
4038, 39bitri 241 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
( r  e.  ZZ  /\  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
4140eubii 2271 . . . 4  |-  ( E! r ( r  e. 
NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) )  <->  E! r
( r  e.  ZZ  /\  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
42 df-reu 2681 . . . 4  |-  ( E! r  e.  NN0  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) )  <->  E! r
( r  e.  NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) )
43 df-reu 2681 . . . 4  |-  ( E! r  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
E! r ( r  e.  ZZ  /\  (
0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
4441, 42, 433bitr4ri 270 . . 3  |-  ( E! r  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
E! r  e.  NN0  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )
4536, 44syl6bb 253 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  <->  E! r  e.  NN0  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) )
46453adant3 977 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E! r  e.  NN0  ( r  < 
( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E!weu 2262    =/= wne 2575   E.wrex 2675   E!wreu 2676   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   0cc0 8954    + caddc 8957    x. cmul 8959    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   abscabs 12002    || cdivides 12815
This theorem is referenced by:  divalg2  12888
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-dvds 12816
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