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Theorem divalglem1 12841
Description: Lemma for divalg 12850. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1  |-  N  e.  ZZ
divalglem0.2  |-  D  e.  ZZ
divalglem1.3  |-  D  =/=  0
Assertion
Ref Expression
divalglem1  |-  0  <_  ( N  +  ( abs `  ( N  x.  D ) ) )

Proof of Theorem divalglem1
StepHypRef Expression
1 divalglem0.1 . . . . 5  |-  N  e.  ZZ
21zrei 10220 . . . 4  |-  N  e.  RR
3 0re 9024 . . . 4  |-  0  e.  RR
42, 3letrii 9130 . . 3  |-  ( N  <_  0  \/  0  <_  N )
5 divalglem0.2 . . . . . . . 8  |-  D  e.  ZZ
6 divalglem1.3 . . . . . . . 8  |-  D  =/=  0
7 nnabscl 12056 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  -> 
( abs `  D
)  e.  NN )
85, 6, 7mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( abs `  D )  e.  NN
9 nnge1 9958 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  D )  e.  NN  ->  1  <_  ( abs `  D
) )
108, 9ax-mp 8 . . . . . 6  |-  1  <_  ( abs `  D
)
11 le0neg1 9468 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  <_  0  <->  0  <_  -u N ) )
122, 11ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( N  <_  0  <->  0  <_  -u N )
132renegcli 9294 . . . . . . . 8  |-  -u N  e.  RR
145zrei 10220 . . . . . . . . . 10  |-  D  e.  RR
1514recni 9035 . . . . . . . . 9  |-  D  e.  CC
1615abscli 12125 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  D )  e.  RR
17 lemulge11 9804 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -u N  e.  RR  /\  ( abs `  D )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  -u N  /\  1  <_ 
( abs `  D
) ) )  ->  -u N  <_  ( -u N  x.  ( abs `  D
) ) )
1813, 16, 17mpanl12 664 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  <_  -u N  /\  1  <_  ( abs `  D
) )  ->  -u N  <_  ( -u N  x.  ( abs `  D ) ) )
1912, 18sylanb 459 . . . . . 6  |-  ( ( N  <_  0  /\  1  <_  ( abs `  D
) )  ->  -u N  <_  ( -u N  x.  ( abs `  D ) ) )
2010, 19mpan2 653 . . . . 5  |-  ( N  <_  0  ->  -u N  <_  ( -u N  x.  ( abs `  D ) ) )
212recni 9035 . . . . . . 7  |-  N  e.  CC
2221, 15absmuli 12134 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( N  x.  D
) )  =  ( ( abs `  N
)  x.  ( abs `  D ) )
232absnidi 12109 . . . . . . 7  |-  ( N  <_  0  ->  ( abs `  N )  = 
-u N )
2423oveq1d 6035 . . . . . 6  |-  ( N  <_  0  ->  (
( abs `  N
)  x.  ( abs `  D ) )  =  ( -u N  x.  ( abs `  D ) ) )
2522, 24syl5eq 2431 . . . . 5  |-  ( N  <_  0  ->  ( abs `  ( N  x.  D ) )  =  ( -u N  x.  ( abs `  D ) ) )
2620, 25breqtrrd 4179 . . . 4  |-  ( N  <_  0  ->  -u N  <_  ( abs `  ( N  x.  D )
) )
27 le0neg2 9469 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
0  <_  N  <->  -u N  <_ 
0 ) )
282, 27ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 0  <_  N  <->  -u N  <_ 
0 )
292, 14remulcli 9037 . . . . . . . 8  |-  ( N  x.  D )  e.  RR
3029recni 9035 . . . . . . 7  |-  ( N  x.  D )  e.  CC
3130absge0i 12126 . . . . . 6  |-  0  <_  ( abs `  ( N  x.  D )
)
3230abscli 12125 . . . . . . 7  |-  ( abs `  ( N  x.  D
) )  e.  RR
3313, 3, 32letri 9134 . . . . . 6  |-  ( (
-u N  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  ( N  x.  D
) ) )  ->  -u N  <_  ( abs `  ( N  x.  D
) ) )
3431, 33mpan2 653 . . . . 5  |-  ( -u N  <_  0  ->  -u N  <_  ( abs `  ( N  x.  D )
) )
3528, 34sylbi 188 . . . 4  |-  ( 0  <_  N  ->  -u N  <_  ( abs `  ( N  x.  D )
) )
3626, 35jaoi 369 . . 3  |-  ( ( N  <_  0  \/  0  <_  N )  ->  -u N  <_  ( abs `  ( N  x.  D
) ) )
374, 36ax-mp 8 . 2  |-  -u N  <_  ( abs `  ( N  x.  D )
)
38 df-neg 9226 . . . 4  |-  -u N  =  ( 0  -  N )
3938breq1i 4160 . . 3  |-  ( -u N  <_  ( abs `  ( N  x.  D )
)  <->  ( 0  -  N )  <_  ( abs `  ( N  x.  D ) ) )
403, 2, 32lesubadd2i 9519 . . 3  |-  ( ( 0  -  N )  <_  ( abs `  ( N  x.  D )
)  <->  0  <_  ( N  +  ( abs `  ( N  x.  D
) ) ) )
4139, 40bitri 241 . 2  |-  ( -u N  <_  ( abs `  ( N  x.  D )
)  <->  0  <_  ( N  +  ( abs `  ( N  x.  D
) ) ) )
4237, 41mpbi 200 1  |-  0  <_  ( N  +  ( abs `  ( N  x.  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    e. wcel 1717    =/= wne 2550   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    <_ cle 9054    - cmin 9223   -ucneg 9224   NNcn 9932   ZZcz 10214   abscabs 11966
This theorem is referenced by:  divalglem2  12842
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968
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