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Theorem divalglem1 12907
Description: Lemma for divalg 12916. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1  |-  N  e.  ZZ
divalglem0.2  |-  D  e.  ZZ
divalglem1.3  |-  D  =/=  0
Assertion
Ref Expression
divalglem1  |-  0  <_  ( N  +  ( abs `  ( N  x.  D ) ) )

Proof of Theorem divalglem1
StepHypRef Expression
1 divalglem0.1 . . . . 5  |-  N  e.  ZZ
21zrei 10281 . . . 4  |-  N  e.  RR
3 0re 9084 . . . 4  |-  0  e.  RR
42, 3letrii 9191 . . 3  |-  ( N  <_  0  \/  0  <_  N )
5 divalglem0.2 . . . . . . . 8  |-  D  e.  ZZ
6 divalglem1.3 . . . . . . . 8  |-  D  =/=  0
7 nnabscl 12122 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  -> 
( abs `  D
)  e.  NN )
85, 6, 7mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( abs `  D )  e.  NN
9 nnge1 10019 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  D )  e.  NN  ->  1  <_  ( abs `  D
) )
108, 9ax-mp 8 . . . . . 6  |-  1  <_  ( abs `  D
)
11 le0neg1 9529 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  <_  0  <->  0  <_  -u N ) )
122, 11ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( N  <_  0  <->  0  <_  -u N )
132renegcli 9355 . . . . . . . 8  |-  -u N  e.  RR
145zrei 10281 . . . . . . . . . 10  |-  D  e.  RR
1514recni 9095 . . . . . . . . 9  |-  D  e.  CC
1615abscli 12191 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  D )  e.  RR
17 lemulge11 9865 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -u N  e.  RR  /\  ( abs `  D )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  -u N  /\  1  <_ 
( abs `  D
) ) )  ->  -u N  <_  ( -u N  x.  ( abs `  D
) ) )
1813, 16, 17mpanl12 664 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  <_  -u N  /\  1  <_  ( abs `  D
) )  ->  -u N  <_  ( -u N  x.  ( abs `  D ) ) )
1912, 18sylanb 459 . . . . . 6  |-  ( ( N  <_  0  /\  1  <_  ( abs `  D
) )  ->  -u N  <_  ( -u N  x.  ( abs `  D ) ) )
2010, 19mpan2 653 . . . . 5  |-  ( N  <_  0  ->  -u N  <_  ( -u N  x.  ( abs `  D ) ) )
212recni 9095 . . . . . . 7  |-  N  e.  CC
2221, 15absmuli 12200 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( N  x.  D
) )  =  ( ( abs `  N
)  x.  ( abs `  D ) )
232absnidi 12175 . . . . . . 7  |-  ( N  <_  0  ->  ( abs `  N )  = 
-u N )
2423oveq1d 6089 . . . . . 6  |-  ( N  <_  0  ->  (
( abs `  N
)  x.  ( abs `  D ) )  =  ( -u N  x.  ( abs `  D ) ) )
2522, 24syl5eq 2480 . . . . 5  |-  ( N  <_  0  ->  ( abs `  ( N  x.  D ) )  =  ( -u N  x.  ( abs `  D ) ) )
2620, 25breqtrrd 4231 . . . 4  |-  ( N  <_  0  ->  -u N  <_  ( abs `  ( N  x.  D )
) )
27 le0neg2 9530 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
0  <_  N  <->  -u N  <_ 
0 ) )
282, 27ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 0  <_  N  <->  -u N  <_ 
0 )
292, 14remulcli 9097 . . . . . . . 8  |-  ( N  x.  D )  e.  RR
3029recni 9095 . . . . . . 7  |-  ( N  x.  D )  e.  CC
3130absge0i 12192 . . . . . 6  |-  0  <_  ( abs `  ( N  x.  D )
)
3230abscli 12191 . . . . . . 7  |-  ( abs `  ( N  x.  D
) )  e.  RR
3313, 3, 32letri 9195 . . . . . 6  |-  ( (
-u N  <_  0  /\  0  <_  ( abs `  ( N  x.  D
) ) )  ->  -u N  <_  ( abs `  ( N  x.  D
) ) )
3431, 33mpan2 653 . . . . 5  |-  ( -u N  <_  0  ->  -u N  <_  ( abs `  ( N  x.  D )
) )
3528, 34sylbi 188 . . . 4  |-  ( 0  <_  N  ->  -u N  <_  ( abs `  ( N  x.  D )
) )
3626, 35jaoi 369 . . 3  |-  ( ( N  <_  0  \/  0  <_  N )  ->  -u N  <_  ( abs `  ( N  x.  D
) ) )
374, 36ax-mp 8 . 2  |-  -u N  <_  ( abs `  ( N  x.  D )
)
38 df-neg 9287 . . . 4  |-  -u N  =  ( 0  -  N )
3938breq1i 4212 . . 3  |-  ( -u N  <_  ( abs `  ( N  x.  D )
)  <->  ( 0  -  N )  <_  ( abs `  ( N  x.  D ) ) )
403, 2, 32lesubadd2i 9580 . . 3  |-  ( ( 0  -  N )  <_  ( abs `  ( N  x.  D )
)  <->  0  <_  ( N  +  ( abs `  ( N  x.  D
) ) ) )
4139, 40bitri 241 . 2  |-  ( -u N  <_  ( abs `  ( N  x.  D )
)  <->  0  <_  ( N  +  ( abs `  ( N  x.  D
) ) ) )
4237, 41mpbi 200 1  |-  0  <_  ( N  +  ( abs `  ( N  x.  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4205   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   RRcr 8982   0cc0 8983   1c1 8984    + caddc 8986    x. cmul 8988    <_ cle 9114    - cmin 9284   -ucneg 9285   NNcn 9993   ZZcz 10275   abscabs 12032
This theorem is referenced by:  divalglem2  12908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-sup 7439  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-rp 10606  df-seq 11317  df-exp 11376  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034
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