Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem4 Structured version   Unicode version

Theorem divalglem4 12916
 Description: Lemma for divalg 12923. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1
divalglem0.2
divalglem1.3
divalglem2.4
Assertion
Ref Expression
divalglem4
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem divalglem4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem0.2 . . . . . 6
2 divalglem0.1 . . . . . . 7
3 nn0z 10304 . . . . . . 7
4 zsubcl 10319 . . . . . . 7
52, 3, 4sylancr 645 . . . . . 6
6 divides 12854 . . . . . 6
71, 5, 6sylancr 645 . . . . 5
8 nn0cn 10231 . . . . . . . 8
9 zmulcl 10324 . . . . . . . . . 10
101, 9mpan2 653 . . . . . . . . 9
1110zcnd 10376 . . . . . . . 8
12 zcn 10287 . . . . . . . . . . 11
132, 12ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
14 subadd 9308 . . . . . . . . . 10
1513, 14mp3an1 1266 . . . . . . . . 9
16 addcom 9252 . . . . . . . . . 10
1716eqeq1d 2444 . . . . . . . . 9
1815, 17bitrd 245 . . . . . . . 8
198, 11, 18syl2an 464 . . . . . . 7
20 eqcom 2438 . . . . . . 7
21 eqcom 2438 . . . . . . 7
2219, 20, 213bitr3g 279 . . . . . 6
2322rexbidva 2722 . . . . 5
247, 23bitrd 245 . . . 4
2524pm5.32i 619 . . 3
26 oveq2 6089 . . . . 5
2726breq2d 4224 . . . 4
28 divalglem2.4 . . . 4
2927, 28elrab2 3094 . . 3
30 oveq2 6089 . . . . . 6
3130eqeq2d 2447 . . . . 5
3231rexbidv 2726 . . . 4
3332elrab 3092 . . 3
3425, 29, 333bitr4i 269 . 2
3534eqriv 2433 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wrex 2706  crab 2709   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081  cc 8988  cc0 8990   caddc 8993   cmul 8995   cmin 9291  cn0 10221  cz 10282   cdivides 12852 This theorem is referenced by:  divalglem10  12922 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-dvds 12853
 Copyright terms: Public domain W3C validator