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Theorem divalglem6 12877
Description: Lemma for divalg 12882. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem6.1  |-  A  e.  NN
divalglem6.2  |-  X  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )
divalglem6.3  |-  K  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
divalglem6  |-  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )

Proof of Theorem divalglem6
StepHypRef Expression
1 divalglem6.3 . . . 4  |-  K  e.  ZZ
21zrei 10248 . . 3  |-  K  e.  RR
3 0re 9051 . . 3  |-  0  e.  RR
42, 3lttri2i 9147 . 2  |-  ( K  =/=  0  <->  ( K  <  0  \/  0  < 
K ) )
5 divalglem6.2 . . . . . . . . 9  |-  X  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )
6 0z 10253 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
7 divalglem6.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e.  NN
87nnzi 10265 . . . . . . . . . 10  |-  A  e.  ZZ
9 elfzm11 11075 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( X  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <-> 
( X  e.  ZZ  /\  0  <_  X  /\  X  <  A ) ) )
106, 8, 9mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <->  ( X  e.  ZZ  /\  0  <_  X  /\  X  <  A
) )
115, 10mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ZZ  /\  0  <_  X  /\  X  < 
A )
1211simp3i 968 . . . . . . 7  |-  X  < 
A
1311simp1i 966 . . . . . . . . 9  |-  X  e.  ZZ
1413zrei 10248 . . . . . . . 8  |-  X  e.  RR
157nnrei 9969 . . . . . . . 8  |-  A  e.  RR
162, 15remulcli 9064 . . . . . . . 8  |-  ( K  x.  A )  e.  RR
1714, 15, 16ltadd1i 9541 . . . . . . 7  |-  ( X  <  A  <->  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
( A  +  ( K  x.  A ) ) )
1812, 17mpbi 200 . . . . . 6  |-  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
( A  +  ( K  x.  A ) )
192renegcli 9322 . . . . . . . 8  |-  -u K  e.  RR
207nnnn0i 10189 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
NN0
2120nn0ge0i 10209 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  A
22 lemulge12 9833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  -u K  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  -u K
) )  ->  A  <_  ( -u K  x.  A ) )
2322an4s 800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( -u K  e.  RR  /\  1  <_  -u K ) )  ->  A  <_  ( -u K  x.  A ) )
2415, 21, 23mpanl12 664 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u K  e.  RR  /\  1  <_  -u K )  ->  A  <_  ( -u K  x.  A ) )
2519, 24mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( 1  <_  -u K  ->  A  <_  ( -u K  x.  A ) )
26 lt0neg1 9494 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  <  0  <->  0  <  -u K ) )
272, 26ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( K  <  0  <->  0  <  -u K )
28 znegcl 10273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  -u K  e.  ZZ )
291, 28ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  -u K  e.  ZZ
30 zltp1le 10285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u K  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  -u K  <->  ( 0  +  1 )  <_  -u K
) )
316, 29, 30mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <  -u K  <->  ( 0  +  1 )  <_  -u K )
32 0p1e1 10053 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3332breq1i 4183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  1 )  <_  -u K  <->  1  <_  -u K )
3431, 33bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  -u K  <->  1  <_  -u K )
3527, 34bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( K  <  0  <->  1  <_  -u K )
362recni 9062 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  e.  CC
3715recni 9062 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e.  CC
3836, 37mulneg1i 9439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u K  x.  A )  =  -u ( K  x.  A )
3938oveq2i 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  -  ( -u K  x.  A ) )  =  ( A  -  -u ( K  x.  A )
)
4016recni 9062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  x.  A )  e.  CC
4137, 40subnegi 9339 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  -  -u ( K  x.  A ) )  =  ( A  +  ( K  x.  A ) )
4239, 41eqtri 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( A  -  ( -u K  x.  A ) )  =  ( A  +  ( K  x.  A ) )
4342breq1i 4183 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  ( -u K  x.  A )
)  <_  0  <->  ( A  +  ( K  x.  A ) )  <_ 
0 )
4419, 15remulcli 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( -u K  x.  A )  e.  RR
45 suble0 9502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( -u K  x.  A
)  e.  RR )  ->  ( ( A  -  ( -u K  x.  A ) )  <_ 
0  <->  A  <_  ( -u K  x.  A )
) )
4615, 44, 45mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  ( -u K  x.  A )
)  <_  0  <->  A  <_  (
-u K  x.  A
) )
4743, 46bitr3i 243 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +  ( K  x.  A ) )  <_  0  <->  A  <_  (
-u K  x.  A
) )
4825, 35, 473imtr4i 258 . . . . . 6  |-  ( K  <  0  ->  ( A  +  ( K  x.  A ) )  <_ 
0 )
4914, 16readdcli 9063 . . . . . . 7  |-  ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  RR
5015, 16readdcli 9063 . . . . . . 7  |-  ( A  +  ( K  x.  A ) )  e.  RR
5149, 50, 3ltletri 9161 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  <  ( A  +  ( K  x.  A ) )  /\  ( A  +  ( K  x.  A )
)  <_  0 )  ->  ( X  +  ( K  x.  A
) )  <  0
)
5218, 48, 51sylancr 645 . . . . 5  |-  ( K  <  0  ->  ( X  +  ( K  x.  A ) )  <  0 )
5349, 3ltnlei 9154 . . . . 5  |-  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  <  0  <->  -.  0  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
5452, 53sylib 189 . . . 4  |-  ( K  <  0  ->  -.  0  <_  ( X  +  ( K  x.  A
) ) )
55 elfzle1 11020 . . . 4  |-  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  ->  0  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
5654, 55nsyl 115 . . 3  |-  ( K  <  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
57 zltp1le 10285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  K  <->  ( 0  +  1 )  <_  K ) )
586, 1, 57mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  K  <->  ( 0  +  1 )  <_  K )
5932breq1i 4183 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 )  <_  K  <->  1  <_  K )
6058, 59bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  K  <->  1  <_  K )
61 lemulge12 9833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  K  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  K
) )  ->  A  <_  ( K  x.  A
) )
6215, 2, 61mpanl12 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  A  /\  1  <_  K )  ->  A  <_  ( K  x.  A ) )
6321, 62mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( 1  <_  K  ->  A  <_  ( K  x.  A
) )
6460, 63sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( 0  <  K  ->  A  <_  ( K  x.  A
) )
6511simp2i 967 . . . . . . 7  |-  0  <_  X
66 addge02 9499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  x.  A
)  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( 0  <_  X  <->  ( K  x.  A )  <_  ( X  +  ( K  x.  A
) ) ) )
6716, 14, 66mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  X  <->  ( K  x.  A )  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
6865, 67mpbi 200 . . . . . 6  |-  ( K  x.  A )  <_ 
( X  +  ( K  x.  A ) )
6915, 16, 49letri 9162 . . . . . 6  |-  ( ( A  <_  ( K  x.  A )  /\  ( K  x.  A )  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )  ->  A  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
7064, 68, 69sylancl 644 . . . . 5  |-  ( 0  <  K  ->  A  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
7115, 49lenlti 9153 . . . . 5  |-  ( A  <_  ( X  +  ( K  x.  A
) )  <->  -.  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
A )
7270, 71sylib 189 . . . 4  |-  ( 0  <  K  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  <  A )
73 elfzm11 11075 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( X  +  ( K  x.  A
) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <-> 
( ( X  +  ( K  x.  A
) )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) )  /\  ( X  +  ( K  x.  A )
)  <  A )
) )
746, 8, 73mp2an 654 . . . . 5  |-  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <->  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( X  +  ( K  x.  A ) )  /\  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
A ) )
7574simp3bi 974 . . . 4  |-  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  ->  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
A )
7672, 75nsyl 115 . . 3  |-  ( 0  <  K  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
7756, 76jaoi 369 . 2  |-  ( ( K  <  0  \/  0  <  K )  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) )
784, 77sylbi 188 1  |-  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721    =/= wne 2571   class class class wbr 4176  (class class class)co 6044   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    x. cmul 8955    < clt 9080    <_ cle 9081    - cmin 9251   -ucneg 9252   NNcn 9960   ZZcz 10242   ...cfz 11003
This theorem is referenced by:  divalglem7  12878
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004
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