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Theorem divalglem6 12923
Description: Lemma for divalg 12928. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem6.1  |-  A  e.  NN
divalglem6.2  |-  X  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )
divalglem6.3  |-  K  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
divalglem6  |-  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )

Proof of Theorem divalglem6
StepHypRef Expression
1 divalglem6.3 . . . 4  |-  K  e.  ZZ
21zrei 10293 . . 3  |-  K  e.  RR
3 0re 9096 . . 3  |-  0  e.  RR
42, 3lttri2i 9192 . 2  |-  ( K  =/=  0  <->  ( K  <  0  \/  0  < 
K ) )
5 divalglem6.2 . . . . . . . . 9  |-  X  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )
6 0z 10298 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
7 divalglem6.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e.  NN
87nnzi 10310 . . . . . . . . . 10  |-  A  e.  ZZ
9 elfzm11 11121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( X  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <-> 
( X  e.  ZZ  /\  0  <_  X  /\  X  <  A ) ) )
106, 8, 9mp2an 655 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <->  ( X  e.  ZZ  /\  0  <_  X  /\  X  <  A
) )
115, 10mpbi 201 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ZZ  /\  0  <_  X  /\  X  < 
A )
1211simp3i 969 . . . . . . 7  |-  X  < 
A
1311simp1i 967 . . . . . . . . 9  |-  X  e.  ZZ
1413zrei 10293 . . . . . . . 8  |-  X  e.  RR
157nnrei 10014 . . . . . . . 8  |-  A  e.  RR
162, 15remulcli 9109 . . . . . . . 8  |-  ( K  x.  A )  e.  RR
1714, 15, 16ltadd1i 9586 . . . . . . 7  |-  ( X  <  A  <->  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
( A  +  ( K  x.  A ) ) )
1812, 17mpbi 201 . . . . . 6  |-  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
( A  +  ( K  x.  A ) )
192renegcli 9367 . . . . . . . 8  |-  -u K  e.  RR
207nnnn0i 10234 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
NN0
2120nn0ge0i 10254 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  A
22 lemulge12 9878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  -u K  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  -u K
) )  ->  A  <_  ( -u K  x.  A ) )
2322an4s 801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( -u K  e.  RR  /\  1  <_  -u K ) )  ->  A  <_  ( -u K  x.  A ) )
2415, 21, 23mpanl12 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u K  e.  RR  /\  1  <_  -u K )  ->  A  <_  ( -u K  x.  A ) )
2519, 24mpan 653 . . . . . . 7  |-  ( 1  <_  -u K  ->  A  <_  ( -u K  x.  A ) )
26 lt0neg1 9539 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  <  0  <->  0  <  -u K ) )
272, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( K  <  0  <->  0  <  -u K )
28 znegcl 10318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  -u K  e.  ZZ )
291, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  -u K  e.  ZZ
30 zltp1le 10330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u K  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  -u K  <->  ( 0  +  1 )  <_  -u K
) )
316, 29, 30mp2an 655 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <  -u K  <->  ( 0  +  1 )  <_  -u K )
32 0p1e1 10098 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3332breq1i 4222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  1 )  <_  -u K  <->  1  <_  -u K )
3431, 33bitri 242 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  -u K  <->  1  <_  -u K )
3527, 34bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( K  <  0  <->  1  <_  -u K )
362recni 9107 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  e.  CC
3715recni 9107 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e.  CC
3836, 37mulneg1i 9484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u K  x.  A )  =  -u ( K  x.  A )
3938oveq2i 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  -  ( -u K  x.  A ) )  =  ( A  -  -u ( K  x.  A )
)
4016recni 9107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  x.  A )  e.  CC
4137, 40subnegi 9384 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  -  -u ( K  x.  A ) )  =  ( A  +  ( K  x.  A ) )
4239, 41eqtri 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( A  -  ( -u K  x.  A ) )  =  ( A  +  ( K  x.  A ) )
4342breq1i 4222 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  ( -u K  x.  A )
)  <_  0  <->  ( A  +  ( K  x.  A ) )  <_ 
0 )
4419, 15remulcli 9109 . . . . . . . . 9  |-  ( -u K  x.  A )  e.  RR
45 suble0 9547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( -u K  x.  A
)  e.  RR )  ->  ( ( A  -  ( -u K  x.  A ) )  <_ 
0  <->  A  <_  ( -u K  x.  A )
) )
4615, 44, 45mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  ( -u K  x.  A )
)  <_  0  <->  A  <_  (
-u K  x.  A
) )
4743, 46bitr3i 244 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +  ( K  x.  A ) )  <_  0  <->  A  <_  (
-u K  x.  A
) )
4825, 35, 473imtr4i 259 . . . . . 6  |-  ( K  <  0  ->  ( A  +  ( K  x.  A ) )  <_ 
0 )
4914, 16readdcli 9108 . . . . . . 7  |-  ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  RR
5015, 16readdcli 9108 . . . . . . 7  |-  ( A  +  ( K  x.  A ) )  e.  RR
5149, 50, 3ltletri 9206 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  <  ( A  +  ( K  x.  A ) )  /\  ( A  +  ( K  x.  A )
)  <_  0 )  ->  ( X  +  ( K  x.  A
) )  <  0
)
5218, 48, 51sylancr 646 . . . . 5  |-  ( K  <  0  ->  ( X  +  ( K  x.  A ) )  <  0 )
5349, 3ltnlei 9199 . . . . 5  |-  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  <  0  <->  -.  0  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
5452, 53sylib 190 . . . 4  |-  ( K  <  0  ->  -.  0  <_  ( X  +  ( K  x.  A
) ) )
55 elfzle1 11065 . . . 4  |-  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  ->  0  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
5654, 55nsyl 116 . . 3  |-  ( K  <  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
57 zltp1le 10330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  K  <->  ( 0  +  1 )  <_  K ) )
586, 1, 57mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  K  <->  ( 0  +  1 )  <_  K )
5932breq1i 4222 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 )  <_  K  <->  1  <_  K )
6058, 59bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  K  <->  1  <_  K )
61 lemulge12 9878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  K  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  1  <_  K
) )  ->  A  <_  ( K  x.  A
) )
6215, 2, 61mpanl12 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  A  /\  1  <_  K )  ->  A  <_  ( K  x.  A ) )
6321, 62mpan 653 . . . . . . 7  |-  ( 1  <_  K  ->  A  <_  ( K  x.  A
) )
6460, 63sylbi 189 . . . . . 6  |-  ( 0  <  K  ->  A  <_  ( K  x.  A
) )
6511simp2i 968 . . . . . . 7  |-  0  <_  X
66 addge02 9544 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  x.  A
)  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( 0  <_  X  <->  ( K  x.  A )  <_  ( X  +  ( K  x.  A
) ) ) )
6716, 14, 66mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  X  <->  ( K  x.  A )  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
6865, 67mpbi 201 . . . . . 6  |-  ( K  x.  A )  <_ 
( X  +  ( K  x.  A ) )
6915, 16, 49letri 9207 . . . . . 6  |-  ( ( A  <_  ( K  x.  A )  /\  ( K  x.  A )  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )  ->  A  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
7064, 68, 69sylancl 645 . . . . 5  |-  ( 0  <  K  ->  A  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) ) )
7115, 49lenlti 9198 . . . . 5  |-  ( A  <_  ( X  +  ( K  x.  A
) )  <->  -.  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
A )
7270, 71sylib 190 . . . 4  |-  ( 0  <  K  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  <  A )
73 elfzm11 11121 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( X  +  ( K  x.  A
) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <-> 
( ( X  +  ( K  x.  A
) )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( X  +  ( K  x.  A ) )  /\  ( X  +  ( K  x.  A )
)  <  A )
) )
746, 8, 73mp2an 655 . . . . 5  |-  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <->  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( X  +  ( K  x.  A ) )  /\  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
A ) )
7574simp3bi 975 . . . 4  |-  ( ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  ->  ( X  +  ( K  x.  A ) )  < 
A )
7672, 75nsyl 116 . . 3  |-  ( 0  <  K  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
7756, 76jaoi 370 . 2  |-  ( ( K  <  0  \/  0  <  K )  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A ) )  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) )
784, 77sylbi 189 1  |-  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  A )
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   -ucneg 9297   NNcn 10005   ZZcz 10287   ...cfz 11048
This theorem is referenced by:  divalglem7  12924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049
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