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Theorem divalglem8 12615
Description: Lemma for divalg 12618. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1  |-  N  e.  ZZ
divalglem8.2  |-  D  e.  ZZ
divalglem8.3  |-  D  =/=  0
divalglem8.4  |-  S  =  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r ) }
Assertion
Ref Expression
divalglem8  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  /\  ( X  <  ( abs `  D
)  /\  Y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  ->  X  =  Y ) ) )
Distinct variable groups:    D, r    N, r
Allowed substitution hints:    S( r)    K( r)    X( r)    Y( r)

Proof of Theorem divalglem8
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem8.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r ) }
2 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r
) }  C_  NN0
31, 2eqsstri 3221 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  C_  NN0
4 nn0sscn 9986 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  C_  CC
53, 4sstri 3201 . . . . . . . . . . 11  |-  S  C_  CC
65sseli 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  S  ->  Y  e.  CC )
75sseli 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  S  ->  X  e.  CC )
8 divalglem8.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  e.  ZZ
9 divalglem8.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  =/=  0
10 nnabscl 11825 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  -> 
( abs `  D
)  e.  NN )
118, 9, 10mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs `  D )  e.  NN
1211nnzi 10063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  D )  e.  ZZ
13 zmulcl 10082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( abs `  D )  e.  ZZ )  -> 
( K  x.  ( abs `  D ) )  e.  ZZ )
1412, 13mpan2 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  e.  ZZ )
1514zcnd 10134 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  e.  CC )
16 subadd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  X  e.  CC  /\  ( K  x.  ( abs `  D ) )  e.  CC )  ->  (
( Y  -  X
)  =  ( K  x.  ( abs `  D
) )  <->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  =  Y ) )
176, 7, 15, 16syl3an 1224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  S  /\  X  e.  S  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( Y  -  X )  =  ( K  x.  ( abs `  D ) )  <->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  =  Y ) )
18173com12 1155 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( Y  -  X )  =  ( K  x.  ( abs `  D ) )  <->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  =  Y ) )
19 eqcom 2298 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  -  X )  =  ( K  x.  ( abs `  D ) )  <->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X ) )
20 eqcom 2298 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  =  Y  <->  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) ) )
2118, 19, 203bitr3g 278 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  <->  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) ) ) )
22213adant1r 1175 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  Y  e.  S  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  <->  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) ) ) )
23223adant2r 1177 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  <->  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) ) ) )
24 breq1 4042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Y  ->  (
z  <  ( abs `  D )  <->  Y  <  ( abs `  D ) ) )
25 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Y  ->  (
z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  <->  Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
2624, 25imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Y  ->  (
( z  <  ( abs `  D )  -> 
z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) )  <->  ( Y  <  ( abs `  D
)  ->  Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) ) )
273sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  S  ->  z  e.  NN0 )
28 elnn0z 10052 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  NN0  <->  ( z  e.  ZZ  /\  0  <_ 
z ) )
2927, 28sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  S  ->  (
z  e.  ZZ  /\  0  <_  z ) )
3029anim1i 551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  S  /\  z  <  ( abs `  D
) )  ->  (
( z  e.  ZZ  /\  0  <_  z )  /\  z  <  ( abs `  D ) ) )
31 df-3an 936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  0  <_  z  /\  z  <  ( abs `  D
) )  <->  ( (
z  e.  ZZ  /\  0  <_  z )  /\  z  <  ( abs `  D
) ) )
3230, 31sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  S  /\  z  <  ( abs `  D
) )  ->  (
z  e.  ZZ  /\  0  <_  z  /\  z  <  ( abs `  D
) ) )
33 0z 10051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
34 elfzm11 10869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( abs `  D )  e.  ZZ )  -> 
( z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  <-> 
( z  e.  ZZ  /\  0  <_  z  /\  z  <  ( abs `  D
) ) ) )
3533, 12, 34mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D
)  -  1 ) )  <->  ( z  e.  ZZ  /\  0  <_ 
z  /\  z  <  ( abs `  D ) ) )
3632, 35sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  S  /\  z  <  ( abs `  D
) )  ->  z  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) )
3736ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  S  ->  (
z  <  ( abs `  D )  ->  z  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
3826, 37vtoclga 2862 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  S  ->  ( Y  <  ( abs `  D
)  ->  Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
39 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  ->  ( Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) )  <->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) ) )
4039biimpd 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  ->  ( Y  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) )  ->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) ) )
4138, 40sylan9 638 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  S  /\  Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) ) )  -> 
( Y  <  ( abs `  D )  -> 
( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
4241impancom 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D
) )  ->  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  ->  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
43423ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  -> 
( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
44 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  X  ->  (
z  <  ( abs `  D )  <->  X  <  ( abs `  D ) ) )
45 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  X  ->  (
z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  <->  X  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
4644, 45imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  X  ->  (
( z  <  ( abs `  D )  -> 
z  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) )  <->  ( X  <  ( abs `  D
)  ->  X  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) ) )
4746, 37vtoclga 2862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  S  ->  ( X  <  ( abs `  D
)  ->  X  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
4847imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D
) )  ->  X  e.  ( 0 ... (
( abs `  D
)  -  1 ) ) )
498, 9divalglem7 12614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D
)  -  1 ) ) ) )
5048, 49sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) ) )
51503adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  0  ->  -.  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) ) ) )
5251con2d 107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D ) ) )  e.  ( 0 ... ( ( abs `  D )  -  1 ) )  ->  -.  K  =/=  0 ) )
5343, 52syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  ->  -.  K  =/=  0
) )
54 df-ne 2461 . . . . . . 7  |-  ( K  =/=  0  <->  -.  K  =  0 )
5554con2bii 322 . . . . . 6  |-  ( K  =  0  <->  -.  K  =/=  0 )
5653, 55syl6ibr 218 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( Y  =  ( X  +  ( K  x.  ( abs `  D
) ) )  ->  K  =  0 ) )
5723, 56sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  ->  K  =  0 ) )
58 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  0  ->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( 0  x.  ( abs `  D ) ) )
5911nncni 9772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  D )  e.  CC
6059mul02i 9017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  x.  ( abs `  D
) )  =  0
6158, 60syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  0  ->  ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  0 )
6261eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  0  ->  (
( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  <->  0  =  ( Y  -  X
) ) )
6362biimpac 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  /\  K  =  0 )  -> 
0  =  ( Y  -  X ) )
64 subeq0 9089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( Y  -  X )  =  0  <-> 
Y  =  X ) )
656, 7, 64syl2anr 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( Y  -  X )  =  0  <-> 
Y  =  X ) )
66 eqcom 2298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  -  X )  =  0  <->  0  =  ( Y  -  X
) )
67 eqcom 2298 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  X  <->  X  =  Y )
6865, 66, 673bitr3g 278 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( 0  =  ( Y  -  X )  <-> 
X  =  Y ) )
6963, 68syl5ib 210 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( ( K  x.  ( abs `  D
) )  =  ( Y  -  X )  /\  K  =  0 )  ->  X  =  Y ) )
7069ad2ant2r 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X
)  /\  K  = 
0 )  ->  X  =  Y ) )
71703adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  x.  ( abs `  D
) )  =  ( Y  -  X )  /\  K  =  0 )  ->  X  =  Y ) )
7271exp3a 425 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  -> 
( K  =  0  ->  X  =  Y ) ) )
7357, 72mpdd 36 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  ->  X  =  Y )
)
74733expia 1153 . 2  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  X  <  ( abs `  D ) )  /\  ( Y  e.  S  /\  Y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X
)  ->  X  =  Y ) ) )
7574an4s 799 1  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  /\  ( X  <  ( abs `  D
)  /\  Y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  x.  ( abs `  D ) )  =  ( Y  -  X )  ->  X  =  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   {crab 2560   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ...cfz 10798   abscabs 11735    || cdivides 12547
This theorem is referenced by:  divalglem9  12616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737
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