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Theorem divalglem9 12616
Description: Lemma for divalg 12618. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1  |-  N  e.  ZZ
divalglem8.2  |-  D  e.  ZZ
divalglem8.3  |-  D  =/=  0
divalglem8.4  |-  S  =  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r ) }
divalglem9.5  |-  R  =  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
divalglem9  |-  E! x  e.  S  x  <  ( abs `  D )
Distinct variable groups:    D, r, x    N, r, x    x, S    x, R
Allowed substitution hints:    R( r)    S( r)

Proof of Theorem divalglem9
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem9.5 . . . 4  |-  R  =  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )
2 divalglem8.1 . . . . 5  |-  N  e.  ZZ
3 divalglem8.2 . . . . 5  |-  D  e.  ZZ
4 divalglem8.3 . . . . 5  |-  D  =/=  0
5 divalglem8.4 . . . . 5  |-  S  =  { r  e.  NN0  |  D  ||  ( N  -  r ) }
62, 3, 4, 5divalglem2 12610 . . . 4  |-  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
71, 6eqeltri 2366 . . 3  |-  R  e.  S
82, 3, 4, 5, 1divalglem5 12612 . . . 4  |-  ( 0  <_  R  /\  R  <  ( abs `  D
) )
98simpri 448 . . 3  |-  R  < 
( abs `  D
)
10 breq1 4042 . . . 4  |-  ( x  =  R  ->  (
x  <  ( abs `  D )  <->  R  <  ( abs `  D ) ) )
1110rspcev 2897 . . 3  |-  ( ( R  e.  S  /\  R  <  ( abs `  D
) )  ->  E. x  e.  S  x  <  ( abs `  D ) )
127, 9, 11mp2an 653 . 2  |-  E. x  e.  S  x  <  ( abs `  D )
13 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  x  ->  ( N  -  r )  =  ( N  -  x ) )
1413breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  x  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  D  ||  ( N  -  x )
) )
1514, 5elrab2 2938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  NN0  /\  D  ||  ( N  -  x
) ) )
1615simplbi 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  NN0 )
1716nn0zd 10131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  ZZ )
18 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  y  ->  ( N  -  r )  =  ( N  -  y ) )
1918breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  y  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  D  ||  ( N  -  y )
) )
2019, 5elrab2 2938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  NN0  /\  D  ||  ( N  -  y
) ) )
2120simplbi 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  NN0 )
2221nn0zd 10131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  ZZ )
23 zsubcl 10077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( N  -  x
)  e.  ZZ )
242, 23mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( N  -  x )  e.  ZZ )
25 zsubcl 10077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( N  -  y
)  e.  ZZ )
262, 25mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( N  -  y )  e.  ZZ )
2724, 26anim12i 549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  x )  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ ) )
2817, 22, 27syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( N  -  x )  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ ) )
2915simprbi 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  ->  D  ||  ( N  -  x
) )
3020simprbi 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  S  ->  D  ||  ( N  -  y
) )
3129, 30anim12i 549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( D  ||  ( N  -  x )  /\  D  ||  ( N  -  y ) ) )
32 dvds2sub 12577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( N  -  x
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( N  -  x )  /\  D  ||  ( N  -  y
) )  ->  D  ||  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
) ) )
333, 32mp3an1 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  x
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( N  -  x )  /\  D  ||  ( N  -  y
) )  ->  D  ||  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
) ) )
3428, 31, 33sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  D  ||  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y ) ) )
35 zcn 10045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
36 zcn 10045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
372zrei 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  N  e.  RR
3837recni 8865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  N  e.  CC
3938subidi 9133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  -  N )  =  0
4039oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  -  N )  -  ( x  -  y ) )  =  ( 0  -  (
x  -  y ) )
41 0cn 8847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
42 subsub2 9091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
0  -  ( x  -  y ) )  =  ( 0  +  ( y  -  x
) ) )
4341, 42mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  -  (
x  -  y ) )  =  ( 0  +  ( y  -  x ) ) )
4440, 43syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( N  -  N )  -  (
x  -  y ) )  =  ( 0  +  ( y  -  x ) ) )
45 sub4 9108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  CC  /\  N  e.  CC )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( N  -  N )  -  (
x  -  y ) )  =  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y ) ) )
4638, 38, 45mpanl12 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( N  -  N )  -  (
x  -  y ) )  =  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y ) ) )
47 subcl 9067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( y  -  x
)  e.  CC )
4847ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( y  -  x
)  e.  CC )
4948addid2d 9029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  +  ( y  -  x ) )  =  ( y  -  x ) )
5044, 46, 493eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
)  =  ( y  -  x ) )
5135, 36, 50syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
)  =  ( y  -  x ) )
5217, 22, 51syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( N  -  x )  -  ( N  -  y )
)  =  ( y  -  x ) )
5352breq2d 4051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( D  ||  (
( N  -  x
)  -  ( N  -  y ) )  <-> 
D  ||  ( y  -  x ) ) )
5434, 53mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  D  ||  ( y  -  x ) )
55 zsubcl 10077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( y  -  x
)  e.  ZZ )
5655ancoms 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  -  x
)  e.  ZZ )
57 absdvdsb 12563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( y  -  x
)  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( y  -  x
)  <->  ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) ) )
583, 56, 57sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  (
y  -  x )  <-> 
( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) ) )
5917, 22, 58syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( D  ||  (
y  -  x )  <-> 
( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) ) )
6054, 59mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x ) )
61 nnabscl 11825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  -> 
( abs `  D
)  e.  NN )
623, 4, 61mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  D )  e.  NN
6362nnzi 10063 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  D )  e.  ZZ
64 divides 12549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  D
)  e.  ZZ  /\  ( y  -  x
)  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  D )  ||  (
y  -  x )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x ) ) )
6563, 56, 64sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D
) )  =  ( y  -  x ) ) )
6617, 22, 65syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( abs `  D
)  ||  ( y  -  x )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D
) )  =  ( y  -  x ) ) )
6760, 66mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x ) )
6867adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D
) )  =  ( y  -  x ) )
692, 3, 4, 5divalglem8 12615 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x )  ->  x  =  y ) ) )
7069rexlimdv 2679 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( abs `  D ) )  =  ( y  -  x )  ->  x  =  y ) )
7168, 70mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) ) )  ->  x  =  y )
7271ex 423 . . 3  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( x  < 
( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) )  ->  x  =  y ) )
7372rgen2a 2622 . 2  |-  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( (
x  <  ( abs `  D )  /\  y  <  ( abs `  D
) )  ->  x  =  y )
74 breq1 4042 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <  ( abs `  D )  <->  y  <  ( abs `  D ) ) )
7574reu4 2972 . 2  |-  ( E! x  e.  S  x  <  ( abs `  D
)  <->  ( E. x  e.  S  x  <  ( abs `  D )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( ( x  <  ( abs `  D
)  /\  y  <  ( abs `  D ) )  ->  x  =  y ) ) )
7612, 73, 75mpbir2an 886 1  |-  E! x  e.  S  x  <  ( abs `  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   E!wreu 2558   {crab 2560   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   abscabs 11735    || cdivides 12547
This theorem is referenced by:  divalglem10  12617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548
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