Theorem divasst 5748

Description: An associative law for division.

Assertion

Ref	Expression
divasst	|- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ C =/= 0) -> ((A x. B) / C) = (A x. (B / C)))

Proof of Theorem divasst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 59	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> A e. CC)
2		id 59	. . . . . . 7 |- (B e. CC -> B e. CC)
3		recclt 5727	. . . . . . 7 |- ((C e. CC /\ C =/= 0) -> (1 / C) e. CC)
4	1, 2, 3	3anim123i 823	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ (C e. CC /\ C =/= 0)) -> (A e. CC /\ B e. CC /\ (1 / C) e. CC))
5	4	3exp 834	. . . . 5 |- (A e. CC -> (B e. CC -> ((C e. CC /\ C =/= 0) -> (A e. CC /\ B e. CC /\ (1 / C) e. CC))))
6	5	exp4a 380	. . . 4 |- (A e. CC -> (B e. CC -> (C e. CC -> (C =/= 0 -> (A e. CC /\ B e. CC /\ (1 / C) e. CC)))))
7	6	3imp1 848	. . 3 |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ C =/= 0) -> (A e. CC /\ B e. CC /\ (1 / C) e. CC))
8		axmulass 5290	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ (1 / C) e. CC) -> ((A x. B) x. (1 / C)) = (A x. (B x. (1 / C))))
9	7, 8	syl 10	. 2 |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ C =/= 0) -> ((A x. B) x. (1 / C)) = (A x. (B x. (1 / C))))
10		divrect 5746	. . . 4 |- (((A x. B) e. CC /\ C e. CC /\ C =/= 0) -> ((A x. B) / C) = ((A x. B) x. (1 / C)))
11	10	3expa 835	. . 3 |- ((((A x. B) e. CC /\ C e. CC) /\ C =/= 0) -> ((A x. B) / C) = ((A x. B) x. (1 / C)))
12		axmulcl 5285	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) e. CC)
13	12	anim1i 334	. . . 4 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ C e. CC) -> ((A x. B) e. CC /\ C e. CC))
14	13	3impa 830	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> ((A x. B) e. CC /\ C e. CC))
15	11, 14	sylan 450	. 2 |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ C =/= 0) -> ((A x. B) / C) = ((A x. B) x. (1 / C)))
16		divrect 5746	. . . . 5 |- ((B e. CC /\ C e. CC /\ C =/= 0) -> (B / C) = (B x. (1 / C)))
17	16	3expa 835	. . . 4 |- (((B e. CC /\ C e. CC) /\ C =/= 0) -> (B / C) = (B x. (1 / C)))
18	17	3adantl1 805	. . 3 |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ C =/= 0) -> (B / C) = (B x. (1 / C)))
19	18	opreq2d 3982	. 2 |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ C =/= 0) -> (A x. (B / C)) = (A x. (B x. (1 / C))))
20	9, 15, 19	3eqtr4d 1520	1 |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ C =/= 0) -> ((A x. B) / C) = (A x. (B / C)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246  1c1 5247   x. cmul 5251   / cdiv 5306

This theorem is referenced by:  div23t 5749  divassz 5752  lt2mul2divt 5874  geoisum1c 7245  efi4pt 7435

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715

Copyright terms: Public domain