MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan1d Structured version   Unicode version

Theorem divcan1d 9793
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan1d  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  x.  B
)  =  A )

Proof of Theorem divcan1d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan1 9689 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  /  B
)  x.  B )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1185 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  x.  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601  (class class class)co 6083   CCcc 8990   0cc0 8992    x. cmul 8997    / cdiv 9679
This theorem is referenced by:  ltdiv23  9903  lediv23  9904  recp1lt1  9910  ledivp1  9914  qmulz  10579  iccf1o  11041  bcpasc  11614  sqrdiv  12073  geo2sum  12652  sqr2irrlem  12849  dvdsval2  12857  bitsres  12987  bitsuz  12988  mulgcddvds  13106  qredeq  13108  isprm6  13111  qmuldeneqnum  13141  pcqdiv  13233  pockthlem  13275  prmreclem3  13288  4sqlem5  13312  4sqlem12  13326  4sqlem15  13329  sylow3lem4  15266  odadd1  15465  odadd2  15466  gexexlem  15469  pgpfac1lem3a  15636  pgpfac1lem3  15637  znidomb  16844  znrrg  16848  nmoleub2lem  19124  nmoleub3  19129  i1fmullem  19588  mbfi1fseqlem3  19611  mbfi1fseqlem4  19612  mbfi1fseqlem5  19613  dvcnp2  19808  dvlip  19879  plydivlem4  20215  cosne0  20434  advlogexp  20548  root1id  20640  ang180lem1  20653  ang180lem3  20655  angpieqvd  20674  chordthmlem  20675  dcubic2  20686  dcubic  20688  dquartlem2  20694  cxploglim2  20819  fsumdvdsdiaglem  20970  logexprlim  21011  bposlem3  21072  lgslem1  21082  lgsquadlem1  21140  log2sumbnd  21240  chpdifbndlem1  21249  selberg4lem1  21256  pntrlog2bndlem3  21275  pntibndlem2  21287  pntlemr  21298  ostth2lem3  21331  ostth2  21333  ostth3  21334  blocnilem  22307  qqhval2lem  24367  cndprobin  24694  faclimlem1  25364  faclimlem3  25366  axcontlem7  25911  itg2addnclem3  26260  nn0prpwlem  26327  bfplem1  26533  rrncmslem  26543  rrnequiv  26546  pellexlem6  26899  jm2.19  27066  jm2.27c  27080  hashgcdlem  27495  stoweidlem42  27769  stirlinglem3  27803  sigarcol  27832  sharhght  27833  ltdifltdiv  28159  sineq0ALT  29111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680
  Copyright terms: Public domain W3C validator