MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan1d Unicode version

Theorem divcan1d 9553
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan1d  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  x.  B
)  =  A )

Proof of Theorem divcan1d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan1 9449 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  /  B
)  x.  B )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1182 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  x.  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753    x. cmul 8758    / cdiv 9439
This theorem is referenced by:  ltdiv23  9663  lediv23  9664  recp1lt1  9670  ledivp1  9674  qmulz  10335  iccf1o  10794  bcpasc  11349  sqrdiv  11767  geo2sum  12345  sqr2irrlem  12542  dvdsval2  12550  bitsres  12680  bitsuz  12681  mulgcddvds  12799  qredeq  12801  isprm6  12804  qmuldeneqnum  12834  pcqdiv  12926  pockthlem  12968  prmreclem3  12981  4sqlem5  13005  4sqlem12  13019  4sqlem15  13022  sylow3lem4  14957  odadd1  15156  odadd2  15157  gexexlem  15160  pgpfac1lem3a  15327  pgpfac1lem3  15328  znidomb  16531  znrrg  16535  nmoleub2lem  18611  nmoleub3  18616  i1fmullem  19065  mbfi1fseqlem3  19088  mbfi1fseqlem4  19089  mbfi1fseqlem5  19090  dvcnp2  19285  dvlip  19356  plydivlem4  19692  cosne0  19908  advlogexp  20018  root1id  20110  ang180lem1  20123  ang180lem3  20125  angpieqvd  20144  chordthmlem  20145  dcubic2  20156  dcubic  20158  dquartlem2  20164  cxploglim2  20289  fsumdvdsdiaglem  20439  logexprlim  20480  bposlem3  20541  lgslem1  20551  lgsquadlem1  20609  log2sumbnd  20709  chpdifbndlem1  20718  selberg4lem1  20725  pntrlog2bndlem3  20744  pntibndlem2  20756  pntlemr  20767  ostth2lem3  20800  ostth2  20802  ostth3  20803  blocnilem  21398  faclimlem8  24124  axcontlem7  24670  itg2addnc  25005  nn0prpwlem  26341  bfplem1  26649  rrncmslem  26659  rrnequiv  26662  pellexlem6  27022  jm2.19  27189  jm2.27c  27203  hashgcdlem  27619  stirlinglem3  27928  sigarcol  27957  sharhght  27958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440
  Copyright terms: Public domain W3C validator