MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan2 Structured version   Unicode version

Theorem divcan2 9686
Description: A cancellation law for division. (Contributed by NM, 3-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
divcan2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )

Proof of Theorem divcan2
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . 2  |-  ( A  /  B )  =  ( A  /  B
)
2 simp1 957 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
3 divcl 9684 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
4 3simpc 956 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )
5 divmul 9681 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( A  /  B
)  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( ( A  /  B )  =  ( A  /  B
)  <->  ( B  x.  ( A  /  B
) )  =  A ) )
62, 3, 4, 5syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  /  B
)  =  ( A  /  B )  <->  ( B  x.  ( A  /  B
) )  =  A ) )
71, 6mpbii 203 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990    x. cmul 8995    / cdiv 9677
This theorem is referenced by:  divcan1  9687  recid  9692  div11  9704  divmuldiv  9714  dmdcan  9724  divcan2zi  9751  divcan2d  9792  zdiv  10340  modlt  11258  addcj  11953  sqrlem7  12054  efgt0  12704  sin02gt0  12793  pythagtriplem16  13204  sinq12gt0  20415  coseq1  20430  efeq1  20431  basellem3  20865  chtub  20996  4ipval2  22204  4ipval3  22208  rexdiv  24172  bpoly2  26103  bpoly3  26104  mblfinlem3  26245  itg2addnclem3  26258  ftc1anclem6  26285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678
  Copyright terms: Public domain W3C validator