MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan2d Structured version   Unicode version

Theorem divcan2d 9782
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan2d  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )

Proof of Theorem divcan2d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan2 9676 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598  (class class class)co 6073   CCcc 8978   0cc0 8980    x. cmul 8985    / cdiv 9667
This theorem is referenced by:  nneo  10343  zeo2  10346  intfracq  11230  discr  11506  hashf1  11696  caurcvgr  12457  iseralt  12468  mertenslem1  12651  tanadd  12758  bitsmod  12938  mulgcd  13036  prmind2  13080  qredeq  13096  qredeu  13097  isprm5  13102  pythagtriplem19  13197  pcprendvds2  13205  pcpremul  13207  pcadd  13248  prmreclem1  13274  4sqlem19  13321  ablfac1lem  15616  pgpfac1lem3  15625  prmirredlem  16763  znrrg  16836  metnrmlem3  18881  lebnumlem3  18978  pcoass  19039  ipcau2  19181  minveclem3  19320  sca2rab  19398  ovolscalem1  19399  uniioombllem4  19468  uniioombl  19471  itg1mulc  19586  itg2const2  19623  dvrec  19831  dveflem  19853  lhop1  19888  vieta1  20219  elqaalem3  20228  abelthlem8  20345  tangtx  20403  tanregt0  20431  eff1olem  20440  eflogeq  20486  argregt0  20495  argrege0  20496  argimgt0  20497  cxpeq  20631  ang180lem5  20645  lawcoslem1  20647  isosctrlem2  20653  isosctrlem3  20654  dcubic1lem  20673  dcubic2  20674  dcubic1  20675  mcubic  20677  dquartlem1  20681  dquart  20683  quart1lem  20685  quart1  20686  quart  20691  atantayl2  20768  birthdaylem2  20781  ftalem5  20849  basellem3  20855  basellem4  20856  dvdsdivcl  20956  fsumdvdsdiaglem  20958  logexprlim  20999  mersenne  21001  perfectlem2  21004  perfect  21005  bposlem9  21066  lgsqrlem2  21116  lgseisenlem1  21123  lgseisenlem3  21125  lgsquadlem1  21128  lgsquad2lem1  21132  m1lgs  21136  2sqlem8  21146  rplogsumlem1  21168  dchrvmasumiflem2  21186  dchrisum0flblem2  21193  dchrisum0fno1  21195  dchrisum0lem1  21200  mulog2sumlem3  21220  selberglem2  21230  selberg3lem1  21241  selberg4lem1  21244  selberg3r  21253  selberg4r  21254  pntrlog2bndlem2  21262  pntlemg  21282  subfacval2  24863  circum  25101  faclimlem1  25352  axsegconlem10  25830  axeuclidlem  25866  bpoly4  26070  areacirclem2  26245  areacirclem5  26249  nn0prpwlem  26279  cntotbnd  26459  irrapxlem5  26843  pellexlem2  26847  jm2.22  27020  jm2.20nn  27022  stoweidlem62  27742  stirlinglem1  27754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668
  Copyright terms: Public domain W3C validator