MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan3d Unicode version

Theorem divcan3d 9557
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan3d  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  A )  /  B
)  =  A )

Proof of Theorem divcan3d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan3 9464 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( B  x.  A
)  /  B )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1182 1  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  A )  /  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753    x. cmul 8758    / cdiv 9439
This theorem is referenced by:  prodgt0  9617  ltdivmul  9644  ledivmul  9645  zneo  10110  quoremz  10975  moddiffl  10998  exprec  11159  zesq  11240  discr  11254  bcn1  11341  crre  11615  abs1m  11835  abslem2  11839  efneg  12394  sinhval  12450  eirrlem  12498  sqr2irrlem  12542  bitsp1e  12639  bitsp1o  12640  iserodd  12904  fldivp1  12961  4sqlem17  13024  gexexlem  15160  abv1z  15613  abvrec  15617  gzrngunit  16453  ovolunlem1a  18871  itg1mulc  19075  dvrec  19320  elqaalem3  19717  eff1olem  19926  logf1o2  20013  cxpneg  20044  cxprec  20049  isosctrlem2  20135  dcubic2  20156  mcubic  20159  cubic2  20160  dquartlem1  20163  dquartlem2  20164  dquart  20165  cosasin  20216  efiatan2  20229  tanatan  20231  atantan  20235  dvatan  20247  atantayl2  20250  atantayl3  20251  jensen  20299  basellem3  20336  basellem5  20338  basellem8  20341  logfacrlim  20479  perfectlem2  20485  lgsquadlem1  20609  lgsquadlem2  20610  dchrvmasumlem1  20660  mudivsum  20695  vmalogdivsum2  20703  logsqvma  20707  selberglem2  20711  selberglem3  20712  selberg  20713  selbergr  20733  selberg3r  20734  selberg4r  20735  selberg34r  20736  pntsval2  20741  pntpbnd1a  20750  pntibndlem2  20756  cdj1i  23029  subfacval2  23733  circum  24022  mulge0b  24101  axsegconlem9  24625  fsumkthpow  24863  areacirclem2  25028  areacirclem5  25032  rdr  26538  itgsinexp  27852  sinhpcosh  28464
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440
  Copyright terms: Public domain W3C validator