MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan3d Structured version   Unicode version

Theorem divcan3d 9795
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan3d  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  A )  /  B
)  =  A )

Proof of Theorem divcan3d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan3 9702 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( B  x.  A
)  /  B )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  A )  /  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990    x. cmul 8995    / cdiv 9677
This theorem is referenced by:  prodgt0  9855  ltdivmul  9882  ledivmul  9883  zneo  10352  quoremz  11236  moddiffl  11259  exprec  11421  zesq  11502  discr  11516  bcn1  11604  crre  11919  abs1m  12139  abslem2  12143  efneg  12699  sinhval  12755  eirrlem  12803  sqr2irrlem  12847  bitsp1e  12944  bitsp1o  12945  iserodd  13209  fldivp1  13266  4sqlem17  13329  gexexlem  15467  abv1z  15920  abvrec  15924  gzrngunit  16764  ovolunlem1a  19392  itg1mulc  19596  dvrec  19841  elqaalem3  20238  eff1olem  20450  logf1o2  20541  cxpneg  20572  cxprec  20577  isosctrlem2  20663  dcubic2  20684  mcubic  20687  cubic2  20688  dquartlem1  20691  dquartlem2  20692  dquart  20693  cosasin  20744  efiatan2  20757  tanatan  20759  atantan  20763  dvatan  20775  atantayl2  20778  atantayl3  20779  jensen  20827  basellem3  20865  basellem5  20867  basellem8  20870  logfacrlim  21008  perfectlem2  21014  lgsquadlem1  21138  lgsquadlem2  21139  dchrvmasumlem1  21189  mudivsum  21224  vmalogdivsum2  21232  logsqvma  21236  selberglem2  21240  selberglem3  21241  selberg  21242  selbergr  21262  selberg3r  21263  selberg4r  21264  selberg34r  21265  pntsval2  21270  pntpbnd1a  21279  pntibndlem2  21285  cdj1i  23936  subfacval2  24873  circum  25111  mulge0b  25191  fallfacval4  25359  axsegconlem9  25864  fsumkthpow  26102  areacirclem1  26292  areacirclem4  26295  itgsinexp  27725  stirlinglem7  27805  sinhpcosh  28483
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678
  Copyright terms: Public domain W3C validator