MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divccncf Structured version   Unicode version

Theorem divccncf 18941
Description: Division by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
divccncf.1  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( x  /  A
) )
Assertion
Ref Expression
divccncf  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  F  e.  ( CC -cn-> CC ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem divccncf
StepHypRef Expression
1 divccncf.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( x  /  A
) )
2 divrec2 9700 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  (
x  /  A )  =  ( ( 1  /  A )  x.  x ) )
323expb 1155 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )  ->  ( x  /  A )  =  ( ( 1  /  A
)  x.  x ) )
43ancoms 441 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  CC )  ->  ( x  /  A )  =  ( ( 1  /  A
)  x.  x ) )
54mpteq2dva 4298 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( x  e.  CC  |->  ( x  /  A
) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( 1  /  A
)  x.  x ) ) )
61, 5syl5eq 2482 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( 1  /  A )  x.  x ) ) )
7 reccl 9690 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  CC )
8 eqid 2438 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( 1  /  A )  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( 1  /  A )  x.  x ) )
98mulc1cncf 18940 . . 3  |-  ( ( 1  /  A )  e.  CC  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( 1  /  A
)  x.  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
107, 9syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( x  e.  CC  |->  ( ( 1  /  A )  x.  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
116, 10eqeltrd 2512 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  F  e.  ( CC -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    e. cmpt 4269  (class class class)co 6084   CCcc 8993   0cc0 8995   1c1 8996    x. cmul 9000    / cdiv 9682   -cn->ccncf 18911
This theorem is referenced by:  dvlip  19882  sincn  20365  coscn  20366  efopn  20554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-cncf 18913
  Copyright terms: Public domain W3C validator