MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcld Structured version   Unicode version

Theorem divcld 9790
Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem divcld
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcl 9684 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725    =/= wne 2599  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990    / cdiv 9677
This theorem is referenced by:  dmdcan2d  9820  hashf1  11706  abs1m  12139  abslem2  12143  sqreulem  12163  sqreu  12164  o1fsum  12592  divrcnv  12632  divcnv  12633  geolim  12647  geolim2  12648  geo2sum  12650  geo2lim  12652  eftcl  12676  efaddlem  12695  tancl  12730  tanval2  12734  qredeq  13106  pcaddlem  13257  pjthlem1  19338  iblss  19696  itgeqa  19705  iblconst  19709  iblabsr  19721  iblmulc2  19722  itgsplit  19727  dvlem  19783  dvmulbr  19825  dvcobr  19832  dvrec  19841  dvcnvlem  19860  dveflem  19863  dvsincos  19865  dvlip  19877  c1liplem1  19880  lhop1lem  19897  lhop1  19898  lhop2  19899  lhop  19900  ftc1lem4  19923  vieta1lem2  20228  vieta1  20229  elqaalem3  20238  aareccl  20243  aalioulem1  20249  taylfvallem1  20273  tayl0  20278  taylply2  20284  taylply  20285  dvtaylp  20286  taylthlem2  20290  ulmdvlem1  20316  tanregt0  20441  eff1olem  20450  argregt0  20505  argrege0  20506  argimgt0  20507  logcnlem4  20536  advlogexp  20546  logtaylsum  20552  logtayl2  20553  root1eq1  20639  angcld  20647  angrteqvd  20648  cosangneg2d  20649  angrtmuld  20650  ang180lem1  20651  ang180lem2  20652  ang180lem3  20653  ang180lem4  20654  ang180lem5  20655  lawcoslem1  20657  lawcos  20658  isosctrlem2  20663  isosctrlem3  20664  angpieqvdlem  20669  angpieqvdlem2  20670  angpieqvd  20672  dcubic1lem  20683  dcubic2  20684  dcubic1  20685  dcubic  20686  mcubic  20687  cubic2  20688  dquartlem1  20691  dquartlem2  20692  dquart  20693  quart1cl  20694  quart1lem  20695  quart1  20696  quartlem3  20699  quartlem4  20700  quart  20701  tanatan  20759  atantayl  20777  atantayl2  20778  atantayl3  20779  log2cnv  20784  birthdaylem2  20791  efrlim  20808  dfef2  20809  cxploglim2  20817  fsumharmonic  20850  ftalem4  20858  ftalem5  20859  basellem8  20870  logexprlim  21009  bposlem9  21076  2sqlem3  21150  dchrmusum2  21188  dchrvmasum2lem  21190  dchrvmasumiflem1  21195  dchrvmasumiflem2  21196  dchrvmaeq0  21198  dchrisum0re  21207  dchrisum0lem1b  21209  dchrisum0lem1  21210  dchrisum0lem2a  21211  dchrisum0lem2  21212  dchrisum0lem3  21213  dchrisum0  21214  mudivsum  21224  vmalogdivsum2  21232  vmalogdivsum  21233  2vmadivsumlem  21234  selberg2  21245  selberg3lem1  21251  selberg3  21253  selberg4lem1  21254  selbergr  21262  selberg3r  21263  selberg4r  21264  selberg34r  21265  pntrlog2bndlem1  21271  pntrlog2bndlem2  21272  pntrlog2bndlem3  21273  pntrlog2bndlem4  21274  pntrlog2bndlem5  21275  pjhthlem1  22893  eigvalcl  23464  riesz3i  23565  bcm1n  24151  divnumden2  24161  logbcl  24397  lgamgulmlem2  24814  lgamgulmlem3  24815  lgamgulmlem4  24816  lgamgulmlem5  24817  lgamgulmlem6  24818  lgamgulm2  24820  lgamcvg2  24839  gamcvg  24840  gamcvg2lem  24843  subfacval2  24873  divcnvlin  25212  fproddiv  25285  iprodgam  25319  colinearalg  25849  axcontlem8  25910  bpolycl  26098  bpolysum  26099  bpolydiflem  26100  bpoly4  26105  itg2addnclem  26256  iblmulc2nc  26270  ftc1cnnclem  26278  areacirclem1  26292  areacirclem4  26295  areacirc  26297  cntotbnd  26505  pellexlem2  26893  pellexlem6  26897  jm2.19  27064  jm2.27c  27078  proot1ex  27497  clim1fr1  27703  stoweidlem11  27736  stoweidlem26  27751  stoweidlem42  27767  wallispilem4  27793  wallispilem5  27794  wallispi  27795  wallispi2lem1  27796  wallispi2lem2  27797  wallispi2  27798  stirlinglem1  27799  stirlinglem3  27801  stirlinglem4  27802  stirlinglem5  27803  stirlinglem6  27804  stirlinglem7  27805  stirlinglem13  27811  stirlinglem14  27812  stirlinglem15  27813  sigardiv  27827  sharhght  27831  cotcl  28495
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678
  Copyright terms: Public domain W3C validator