MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcld Unicode version

Theorem divcld 9536
Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem divcld
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcl 9430 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
51, 2, 3, 4syl3anc 1182 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684    =/= wne 2446  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    / cdiv 9423
This theorem is referenced by:  dmdcan2d  9566  hashf1  11395  abs1m  11819  abslem2  11823  sqreulem  11843  sqreu  11844  o1fsum  12271  divrcnv  12311  divcnv  12312  geolim  12326  geolim2  12327  geo2sum  12329  geo2lim  12331  eftcl  12355  efaddlem  12374  tancl  12409  tanval2  12413  qredeq  12785  pcaddlem  12936  pjthlem1  18801  iblss  19159  itgeqa  19168  iblconst  19172  iblabsr  19184  iblmulc2  19185  itgsplit  19190  dvlem  19246  dvmulbr  19288  dvcobr  19295  dvrec  19304  dvcnvlem  19323  dveflem  19326  dvsincos  19328  dvlip  19340  c1liplem1  19343  lhop1lem  19360  lhop1  19361  lhop2  19362  lhop  19363  ftc1lem4  19386  vieta1lem2  19691  vieta1  19692  elqaalem3  19701  aareccl  19706  aalioulem1  19712  taylfvallem1  19736  tayl0  19741  taylply2  19747  taylply  19748  dvtaylp  19749  taylthlem2  19753  ulmdvlem1  19777  tanregt0  19901  eff1olem  19910  argregt0  19964  argrege0  19965  argimgt0  19966  logcnlem4  19992  advlogexp  20002  logtaylsum  20008  logtayl2  20009  root1eq1  20095  angcld  20103  angrteqvd  20104  cosangneg2d  20105  angrtmuld  20106  ang180lem1  20107  ang180lem2  20108  ang180lem3  20109  ang180lem4  20110  ang180lem5  20111  lawcoslem1  20113  lawcos  20114  isosctrlem2  20119  isosctrlem3  20120  angpieqvdlem  20125  angpieqvdlem2  20126  angpieqvd  20128  dcubic1lem  20139  dcubic2  20140  dcubic1  20141  dcubic  20142  mcubic  20143  cubic2  20144  dquartlem1  20147  dquartlem2  20148  dquart  20149  quart1cl  20150  quart1lem  20151  quart1  20152  quartlem3  20155  quartlem4  20156  quart  20157  tanatan  20215  atantayl  20233  atantayl2  20234  atantayl3  20235  log2cnv  20240  birthdaylem2  20247  efrlim  20264  dfef2  20265  cxploglim2  20273  fsumharmonic  20305  ftalem4  20313  ftalem5  20314  basellem8  20325  logexprlim  20464  bposlem9  20531  2sqlem3  20605  dchrmusum2  20643  dchrvmasum2lem  20645  dchrvmasumiflem1  20650  dchrvmasumiflem2  20651  dchrvmaeq0  20653  dchrisum0re  20662  dchrisum0lem1b  20664  dchrisum0lem1  20665  dchrisum0lem2a  20666  dchrisum0lem2  20667  dchrisum0lem3  20668  dchrisum0  20669  mudivsum  20679  vmalogdivsum2  20687  vmalogdivsum  20688  2vmadivsumlem  20689  selberg2  20700  selberg3lem1  20706  selberg3  20708  selberg4lem1  20709  selbergr  20717  selberg3r  20718  selberg4r  20719  selberg34r  20720  pntrlog2bndlem1  20726  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem3  20728  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem5  20730  pjhthlem1  21970  eigvalcl  22541  riesz3i  22642  bcm1n  23032  logbcl  23399  subfacval2  23718  colinearalg  24538  axcontlem8  24599  bpolycl  24787  bpolysum  24788  bpolydiflem  24789  bpoly4  24794  areacirclem2  24925  areacirclem5  24929  areacirc  24931  cntotbnd  26520  pellexlem2  26915  pellexlem6  26919  jm2.19  27086  jm2.27c  27100  proot1ex  27520  clim1fr1  27727  wallispilem4  27817  wallispilem5  27818  wallispi  27819  wallispi2lem1  27820  wallispi2lem2  27821  wallispi2  27822  stirlinglem1  27823  stirlinglem3  27825  stirlinglem4  27826  stirlinglem5  27827  stirlinglem6  27828  stirlinglem7  27829  stirlinglem13  27835  stirlinglem14  27836  stirlinglem15  27837  sigardiv  27851  sharhght  27855  cotcl  28222
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424
  Copyright terms: Public domain W3C validator