Theorem divclt 5712

Description: Closure law for division.

Assertion

Ref	Expression
divclt	|- ((A e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (A / B) e. CC)

Proof of Theorem divclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3968	. . . . 5 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A / B) = (if(A e. CC, A, 0) / B))
2	1	eleq1d 1540	. . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((A / B) e. CC <-> (if(A e. CC, A, 0) / B) e. CC))
3	2	imbi2d 612	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((B =/= 0 -> (A / B) e. CC) <-> (B =/= 0 -> (if(A e. CC, A, 0) / B) e. CC)))
4		neeq1 1590	. . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (B =/= 0 <-> if(B e. CC, B, 0) =/= 0))
5		opreq2 3969	. . . . 5 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) / B) = (if(A e. CC, A, 0) / if(B e. CC, B, 0)))
6	5	eleq1d 1540	. . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((if(A e. CC, A, 0) / B) e. CC <-> (if(A e. CC, A, 0) / if(B e. CC, B, 0)) e. CC))
7	4, 6	imbi12d 626	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((B =/= 0 -> (if(A e. CC, A, 0) / B) e. CC) <-> (if(B e. CC, B, 0) =/= 0 -> (if(A e. CC, A, 0) / if(B e. CC, B, 0)) e. CC)))
8		0cn 5328	. . . . 5 |- 0 e. CC
9	8	elimel 2394	. . . 4 |- if(A e. CC, A, 0) e. CC
10	8	elimel 2394	. . . 4 |- if(B e. CC, B, 0) e. CC
11	9, 10	divclz 5711	. . 3 |- (if(B e. CC, B, 0) =/= 0 -> (if(A e. CC, A, 0) / if(B e. CC, B, 0)) e. CC)
12	3, 7, 11	dedth2h 2387	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (B =/= 0 -> (A / B) e. CC))
13	12	3impia 830	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (A / B) e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  ifcif 2361  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234   / cdiv 5294

This theorem is referenced by:  recclt 5715  divcan2t 5726  div23t 5742  div12t 5744  divsubdirtOLD 5775  divmuldivt 5780  divcan5t 5781  divadddivt 5784  divdivdivt 5785  divcan6t 5791  divdiv23t 5792  nndivtrt 5960  halfclt 6033  geolimilem 7235  eftclt 7303  efcltlem1 7304  efaddlem3 7340  efaddlem6 7343  efaddlem19 7356  ef01tllem1 7383  sinclt 7431  efi4pt 7435  ipcl 8365  ubthlem8 8536  ubthlem9 8537  sincolem 8665  effoi 8745  spansncol 9491  pjspansnt 9500  eigvalclt 9885  riesz3 9995  nndivsub 10421

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703

Copyright terms: Public domain