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Theorem divcn 18372
Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
addcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
divcn.k  |-  K  =  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
divcn  |-  /  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
)

Proof of Theorem divcn
Dummy variables  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-div 9424 . . 3  |-  /  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x ) )
2 eldifsn 3749 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
3 divval 9426 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  ->  (
x  /  y )  =  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x ) )
4 divrec 9440 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  ->  (
x  /  y )  =  ( x  x.  ( 1  /  y
) ) )
53, 4eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  ->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x )  =  ( x  x.  (
1  /  y ) ) )
653expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x )  =  ( x  x.  ( 1  /  y ) ) )
72, 6sylan2b 461 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x )  =  ( x  x.  ( 1  /  y ) ) )
87mpt2eq3ia 5913 . . 3  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z
)  =  x ) )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( x  x.  (
1  /  y ) ) )
91, 8eqtri 2303 . 2  |-  /  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x  x.  ( 1  /  y
) ) )
10 addcn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1110cnfldtopon 18292 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1211a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
13 divcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )
14 difss 3303 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
15 resttopon 16892 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
1612, 14, 15sylancl 643 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
1713, 16syl5eqel 2367 . . . 4  |-  (  T. 
->  K  e.  (TopOn `  ( CC  \  {
0 } ) ) )
1812, 17cnmpt1st 17362 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  x )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
1912, 17cnmpt2nd 17363 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  y )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  K
) )
20 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) )  =  ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) )
21 eldifsn 3749 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 ) )
22 reccl 9431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 )  -> 
( 1  /  z
)  e.  CC )
2321, 22sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  / 
z )  e.  CC )
2420, 23fmpti 5683 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC
25 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( 1  <_  (
( abs `  x
)  x.  y ) ,  1 ,  ( ( abs `  x
)  x.  y ) )  x.  ( ( abs `  x )  /  2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( ( abs `  x )  x.  y ) ,  1 ,  ( ( abs `  x )  x.  y
) )  x.  (
( abs `  x
)  /  2 ) )
2625reccn2 12070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) )  <  y ) )
27 ovres 5987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC 
\  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) w )  =  ( x ( abs  o.  -  ) w ) )
28 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  e.  CC )
29 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  w  e.  CC )
30 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3130cnmetdval 18280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( x  -  w
) ) )
32 abssub 11810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  -  w ) )  =  ( abs `  ( w  -  x
) ) )
3331, 32eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( w  -  x
) ) )
3428, 29, 33syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x ( abs  o.  -  )
w )  =  ( abs `  ( w  -  x ) ) )
3527, 34eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC 
\  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) w )  =  ( abs `  ( w  -  x
) ) )
3635breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  <->  ( abs `  ( w  -  x
) )  <  u
) )
37 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  (
1  /  z )  =  ( 1  /  x ) )
38 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  /  x )  e. 
_V
3937, 20, 38fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  x
)  =  ( 1  /  x ) )
40 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  (
1  /  z )  =  ( 1  /  w ) )
41 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  /  w )  e. 
_V
4240, 20, 41fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
)  =  ( 1  /  w ) )
4339, 42oveqan12d 5877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) ) `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 w ) )  =  ( ( 1  /  x ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) ) )
44 eldifsn 3749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
45 reccl 9431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  CC )
4644, 45sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
47 eldifsn 3749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )
48 reccl 9431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  -> 
( 1  /  w
)  e.  CC )
4947, 48sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  /  w )  e.  CC )
5030cnmetdval 18280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  x
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  x ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  x )  -  ( 1  /  w ) ) ) )
51 abssub 11810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  x
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( 1  /  x
)  -  ( 1  /  w ) ) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  (
1  /  x ) ) ) )
5250, 51eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  /  x
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  x ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  ( 1  /  x ) ) ) )
5346, 49, 52syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( 1  /  x ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  ( 1  /  x ) ) ) )
5443, 53eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) ) `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 w ) )  =  ( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) ) )
5554breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  w ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  (
1  /  x ) ) )  <  y
) )
5636, 55imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( ( x ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) w )  < 
u  ->  ( (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  w ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) )  <  y ) ) )
5756ralbidva 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
)  <->  A. w  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  ( w  -  x ) )  <  u  ->  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  ( 1  /  x
) ) )  < 
y ) ) )
5857rexbidv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
)  <->  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) )  <  y ) ) )
5958adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
)  <->  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) )  <  y ) ) )
6026, 59mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
) )
6160rgen2 2639 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  ( CC  \  {
0 } ) A. y  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
)
62 cnxmet 18282 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
63 xmetres2 17925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )  ->  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  e.  ( * Met `  ( CC 
\  { 0 } ) ) )
6462, 14, 63mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  e.  ( * Met `  ( CC  \  { 0 } ) )
65 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC 
\  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) )
6610cnfldtopn 18291 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
67 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )  =  ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
6865, 66, 67metrest 18070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( CC 
\  { 0 } ) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ) )
6962, 14, 68mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
7013, 69eqtri 2303 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
7170, 66metcn 18089 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  e.  ( * Met `  ( CC  \  { 0 } ) )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )  ->  (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) )  e.  ( K  Cn  J )  <->  ( (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) ) : ( CC  \  {
0 } ) --> CC 
/\  A. x  e.  ( CC  \  { 0 } ) A. y  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( x ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) w )  < 
u  ->  ( (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  w ) )  <  y ) ) ) )
7264, 62, 71mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) )  e.  ( K  Cn  J
)  <->  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC  /\  A. x  e.  ( CC 
\  { 0 } ) A. y  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  x
) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) ) `  w ) )  < 
y ) ) )
7324, 61, 72mpbir2an 886 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) )  e.  ( K  Cn  J )
7473a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
75 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
1  /  z )  =  ( 1  / 
y ) )
7612, 17, 19, 17, 74, 75cnmpt21 17365 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
7710mulcn 18371 . . . . 5  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
7877a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
7912, 17, 18, 76, 78cnmpt22f 17369 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x  x.  ( 1  /  y
) ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
8079trud 1314 . 2  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( x  x.  (
1  /  y ) ) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J )
819, 80eqeltri 2353 1  |-  /  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   iota_crio 6297   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   abscabs 11719   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326   * Metcxmt 16369   MetOpencmopn 16372  ℂfldccnfld 16377  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    tX ctx 17255
This theorem is referenced by:  cdivcncf  18420  evth  18457  dvcnvlem  19323  lhop1lem  19360
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887
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