MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcnv Structured version   Unicode version

Theorem divcnv 12626
Description: The sequence of reciprocals of natural numbers, multiplied by the factor  A, converges to zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
divcnv  |-  ( A  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( A  /  n ) )  ~~>  0 )
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem divcnv
StepHypRef Expression
1 nnrp 10614 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
21ssriv 3345 . . . 4  |-  NN  C_  RR+
32a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  NN  C_  RR+ )
4 divrcnv 12625 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( A  /  n ) )  ~~> r  0 )
53, 4rlimres2 12348 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( A  /  n ) )  ~~> r  0 )
6 nnuz 10514 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7 1z 10304 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
87a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  1  e.  ZZ )
9 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
10 nncn 10001 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
1110adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
12 nnne0 10025 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
1312adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
149, 11, 13divcld 9783 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  ( A  /  n
)  e.  CC )
15 eqid 2436 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( A  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( A  /  n ) )
1614, 15fmptd 5886 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( A  /  n ) ) : NN --> CC )
176, 8, 16rlimclim 12333 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( A  /  n
) )  ~~> r  0  <-> 
( n  e.  NN  |->  ( A  /  n
) )  ~~>  0 ) )
185, 17mpbid 202 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( A  /  n ) )  ~~>  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    =/= wne 2599    C_ wss 3313   class class class wbr 4205    e. cmpt 4259  (class class class)co 6074   CCcc 8981   0cc0 8983   1c1 8984    / cdiv 9670   NNcn 9993   ZZcz 10275   RR+crp 10605    ~~> cli 12271    ~~> r crli 12272
This theorem is referenced by:  supcvg  12628  trireciplem  12634  expcnv  12636  plyeq0lem  20122  leibpi  20775  emcllem4  20830  basellem6  20861  lgamcvg2  24832  circum  25104  divcnvshft  25204  divcnvlin  25205  clim1fr1  27695  stirlinglem1  27791
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-pm 7014  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-sup 7439  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-rp 10606  df-fl 11195  df-seq 11317  df-exp 11376  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034  df-clim 12275  df-rlim 12276
  Copyright terms: Public domain W3C validator