MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdenle Unicode version

Theorem divdenle 13100
Description: Reducing a quotient never increases the denominator. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
divdenle  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  (denom `  ( A  /  B ) )  <_  B )

Proof of Theorem divdenle
StepHypRef Expression
1 divnumden 13099 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( (numer `  ( A  /  B ) )  =  ( A  / 
( A  gcd  B
) )  /\  (denom `  ( A  /  B
) )  =  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
21simprd 450 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  (denom `  ( A  /  B ) )  =  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )
3 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
4 nnz 10263 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
54adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
6 nnne0 9992 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  =/=  0 )
76neneqd 2587 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN  ->  -.  B  =  0 )
87adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  -.  B  =  0 )
98intnand 883 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
10 gcdn0cl 12973 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
113, 5, 9, 10syl21anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN )
1211nnge1d 10002 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  1  <_  ( A  gcd  B ) )
13 1re 9050 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
15 0lt1 9510 . . . . . 6  |-  0  <  1
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  1 )
1711nnred 9975 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  RR )
1811nngt0d 10003 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  ( A  gcd  B ) )
19 nnre 9967 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
2019adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
21 nngt0 9989 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
2221adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  B )
23 lediv2 9860 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( A  gcd  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  gcd  B
) )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( 1  <_  ( A  gcd  B )  <->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  ( B  /  1 ) ) )
2414, 16, 17, 18, 20, 22, 23syl222anc 1200 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  <_  ( A  gcd  B )  <->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  ( B  /  1 ) ) )
2512, 24mpbid 202 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  ( B  / 
1 ) )
26 nncn 9968 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
2726adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
2827div1d 9742 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  /  1
)  =  B )
2925, 28breqtrd 4200 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <_  B )
302, 29eqbrtrd 4196 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  (denom `  ( A  /  B ) )  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    < clt 9080    <_ cle 9081    / cdiv 9637   NNcn 9960   ZZcz 10242    gcd cgcd 12965  numercnumer 13084  denomcdenom 13085
This theorem is referenced by:  qden1elz  13108  irrapxlem5  26783
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-fl 11161  df-mod 11210  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-dvds 12812  df-gcd 12966  df-numer 13086  df-denom 13087
  Copyright terms: Public domain W3C validator