MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdiv1d Unicode version

Theorem divdiv1d 9567
Description: Division into a fraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divmuld.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
divdiv23d.5  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divdiv1d  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  /  C
)  =  ( A  /  ( B  x.  C ) ) )

Proof of Theorem divdiv1d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5 divdiv23d.5 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
6 divdiv1 9471 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  /  B )  /  C
)  =  ( A  /  ( B  x.  C ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6syl122anc 1191 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  /  C
)  =  ( A  /  ( B  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    x. cmul 8742    / cdiv 9423
This theorem is referenced by:  discr  11238  hashf1  11395  eftlub  12389  tanval2  12413  sinhval  12434  sqr2irrlem  12526  bitsp1  12622  4sqlem7  12991  4sqlem10  12994  uniioombl  18944  dvrec  19304  dvsincos  19328  dvcvx  19367  taylthlem2  19753  mcubic  20143  cubic2  20144  quart1lem  20151  quart1  20152  log2cnv  20240  log2tlbnd  20241  birthdaylem2  20247  efrlim  20264  bcmono  20516  m1lgs  20601  chto1lb  20627  vmalogdivsum2  20687  selberg3lem1  20706  selberg4lem1  20709  selberg4  20710  selberg34r  20720  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem4  20729  pntpbnd2  20736  pntibndlem2  20740  pntlemg  20747  irrapxlem5  26911  clim1fr1  27727  wallispi2lem1  27820  stirlinglem3  27825  stirlinglem4  27826  stirlinglem7  27829  stirlinglem15  27837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424
  Copyright terms: Public domain W3C validator