MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divge0 Unicode version

Theorem divge0 9641
Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
divge0  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( A  /  B ) )

Proof of Theorem divge0
StepHypRef Expression
1 ge0div 9639 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  (
0  <_  A  <->  0  <_  ( A  /  B ) ) )
21biimpd 198 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  (
0  <_  A  ->  0  <_  ( A  /  B ) ) )
323exp 1150 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 0  <  B  -> 
( 0  <_  A  ->  0  <_  ( A  /  B ) ) ) ) )
43com34 77 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 0  <_  A  ->  ( 0  <  B  -> 
0  <_  ( A  /  B ) ) ) ) )
54com23 72 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 0  <  B  -> 
0  <_  ( A  /  B ) ) ) ) )
65imp43 578 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( A  /  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439
This theorem is referenced by:  ledivp1  9674  divge0i  9682  divge0d  10442  quoremnn0  10976  quoremnn0ALT  10977  fldiv  10980  modid  11009  expnbnd  11246  sqrdiv  11767  sqreulem  11859  iseralt  12173  efcllem  12375  ege2le3  12387  iserodd  12904  fldivp1  12961  4sqlem14  13021  odmodnn0  14871  prmirredlem  16462  icopnfcnv  18456  lebnumii  18480  nmoleub2lem3  18612  minveclem4  18812  mbfi1fseqlem1  19086  mbfi1fseqlem5  19090  radcnvlem1  19805  cxpaddle  20108  leibpilem1  20252  log2tlbnd  20257  birthdaylem3  20264  jensenlem2  20298  amgm  20301  basellem3  20336  ppiub  20459  logfac2  20472  chto1ub  20641  vmadivsum  20647  rpvmasumlem  20652  dchrvmasumlem2  20663  dchrvmasumiflem1  20666  dchrisum0fno1  20676  dchrisum0re  20678  mulog2sumlem2  20700  selberg2lem  20715  pntrmax  20729  pntrsumo1  20730  pntpbnd1  20751  ostth2lem2  20799  nv1  21258  siii  21447  minvecolem4  21475  norm1  21844  strlem1  22846  unitdivcld  23300  cvmliftlem2  23832  cvmliftlem10  23840  cvmliftlem13  23842  snmlff  23927  divelunit  24095  mulge0b  24101  axpaschlem  24640  axcontlem2  24665  cntrset  25705  pellexlem1  27017  pellexlem6  27022  jm2.22  27191  jm2.23  27192  hashgcdlem  27619  stoweidlem36  27888  stoweidlem38  27890
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440
  Copyright terms: Public domain W3C validator