MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divge0 Structured version   Unicode version

Theorem divge0 9881
Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
divge0  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( A  /  B ) )

Proof of Theorem divge0
StepHypRef Expression
1 ge0div 9879 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  (
0  <_  A  <->  0  <_  ( A  /  B ) ) )
21biimpd 200 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  (
0  <_  A  ->  0  <_  ( A  /  B ) ) )
323exp 1153 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 0  <  B  -> 
( 0  <_  A  ->  0  <_  ( A  /  B ) ) ) ) )
43com34 80 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 0  <_  A  ->  ( 0  <  B  -> 
0  <_  ( A  /  B ) ) ) ) )
54com23 75 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 0  <  B  -> 
0  <_  ( A  /  B ) ) ) ) )
65imp43 580 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( A  /  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992    < clt 9122    <_ cle 9123    / cdiv 9679
This theorem is referenced by:  ledivp1  9914  divge0i  9922  divge0d  10686  quoremnn0  11239  quoremnn0ALT  11240  fldiv  11243  modid  11272  expnbnd  11510  sqrdiv  12073  sqreulem  12165  iseralt  12480  efcllem  12682  ege2le3  12694  iserodd  13211  fldivp1  13268  4sqlem14  13328  odmodnn0  15180  prmirredlem  16775  icopnfcnv  18969  lebnumii  18993  nmoleub2lem3  19125  minveclem4  19335  mbfi1fseqlem1  19609  mbfi1fseqlem5  19613  radcnvlem1  20331  cxpaddle  20638  leibpilem1  20782  log2tlbnd  20787  birthdaylem3  20794  jensenlem2  20828  amgm  20831  basellem3  20867  ppiub  20990  logfac2  21003  chto1ub  21172  vmadivsum  21178  rpvmasumlem  21183  dchrvmasumlem2  21194  dchrvmasumiflem1  21197  dchrisum0fno1  21207  dchrisum0re  21209  mulog2sumlem2  21231  selberg2lem  21246  pntrmax  21260  pntrsumo1  21261  pntpbnd1  21282  ostth2lem2  21330  nv1  22167  siii  22356  minvecolem4  22384  norm1  22753  strlem1  23755  unitdivcld  24301  cvmliftlem2  24975  cvmliftlem10  24983  cvmliftlem13  24985  snmlff  25018  divelunit  25187  mulge0b  25193  axpaschlem  25881  axcontlem2  25906  pellexlem1  26894  pellexlem6  26899  jm2.22  27068  jm2.23  27069  hashgcdlem  27495  stoweidlem36  27763  stoweidlem38  27765
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680
  Copyright terms: Public domain W3C validator