MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divge0d Structured version   Unicode version

Theorem divge0d 10686
Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
divge0d.3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
divge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  /  B ) )

Proof of Theorem divge0d
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 divge0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 rpgecld.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
43rpregt0d 10656 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
5 divge0 9881 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  0  <_  ( A  /  B ) )
61, 2, 4, 5syl21anc 1184 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  /  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992    < clt 9122    <_ cle 9123    / cdiv 9679   RR+crp 10614
This theorem is referenced by:  bitsfzo  12949  bitsmod  12950  icopnfcnv  18969  logdiflbnd  20835  chpo1ubb  21177  vmadivsumb  21179  rpvmasumlem  21183  dchrisumlem1  21185  dchrvmasumlem2  21194  rplogsum  21223  dirith2  21224  mulog2sumlem2  21231  vmalogdivsum2  21234  2vmadivsumlem  21236  selbergb  21245  selberg2b  21248  selberg4lem1  21256  pntrlog2bndlem2  21274  pntrlog2bndlem4  21276  pntrlog2bndlem5  21277  pntrlog2bndlem6  21279  pntrlog2bnd  21280  pntibndlem2  21287  sqsscirc1  24308  lgamgulmlem3  24817  faclimlem1  25364  faclimlem3  25366  faclim  25367  iprodfac  25368  itg2addnclem2  26259  geomcau  26467  stirlinglem11  27811  stirlinglem12  27812
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-rp 10615
  Copyright terms: Public domain W3C validator