MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divlogrlim Structured version   Unicode version

Theorem divlogrlim 20531
Description: The inverse logarithm function converges to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
divlogrlim  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0

Proof of Theorem divlogrlim
Dummy variables  c 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioore 10951 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
2 eliooord 10975 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
32simpld 447 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  1  <  x )
41, 3rplogcld 20529 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
54rprecred 10664 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
1  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
65recnd 9119 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
1  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
76rgen 2773 . . . . 5  |-  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( 1  / 
( log `  x
) )  e.  CC
87a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo )
( 1  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
9 ioossre 10977 . . . . 5  |-  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR
109a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR )
118, 10rlim0lt 12308 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( 1  / 
( log `  x
) ) )  ~~> r  0  <->  A. y  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( c  < 
x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) ) )
1211trud 1333 . 2  |-  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0  <->  A. y  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( c  < 
x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )
13 id 21 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR+ )
1413rprecred 10664 . . . 4  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
1514reefcld 12695 . . 3  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( exp `  ( 1  /  y
) )  e.  RR )
165ad2antlr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
( 1  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
171ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  ->  x  e.  RR )
183ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
1  <  x )
1917, 18rplogcld 20529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
( log `  x
)  e.  RR+ )
2019rpreccld 10663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
( 1  /  ( log `  x ) )  e.  RR+ )
2120rpge0d 10657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( log `  x
) ) )
2216, 21absidd 12230 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  =  ( 1  / 
( log `  x
) ) )
23 simpll 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
y  e.  RR+ )
244ad2antlr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
( log `  x
)  e.  RR+ )
25 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
( exp `  (
1  /  y ) )  <  x )
26 1rp 10621 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
1  e.  RR+ )
2827rpred 10653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
1  e.  RR )
2928, 17, 18ltled 9226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
1  <_  x )
3017, 27, 29rpgecld 10688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  ->  x  e.  RR+ )
3130reeflogd 20524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
( exp `  ( log `  x ) )  =  x )
3225, 31breqtrrd 4241 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
( exp `  (
1  /  y ) )  <  ( exp `  ( log `  x
) ) )
3323rprecred 10664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
( 1  /  y
)  e.  RR )
3424rpred 10653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
( log `  x
)  e.  RR )
35 eflt 12723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  RR  /\  ( log `  x )  e.  RR )  -> 
( ( 1  / 
y )  <  ( log `  x )  <->  ( exp `  ( 1  /  y
) )  <  ( exp `  ( log `  x
) ) ) )
3633, 34, 35syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
( ( 1  / 
y )  <  ( log `  x )  <->  ( exp `  ( 1  /  y
) )  <  ( exp `  ( log `  x
) ) ) )
3732, 36mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
( 1  /  y
)  <  ( log `  x ) )
3823, 24, 37ltrec1d 10673 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
( 1  /  ( log `  x ) )  <  y )
3922, 38eqbrtrd 4235 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x )  -> 
( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y )
4039ex 425 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( exp `  (
1  /  y ) )  <  x  -> 
( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )
4140ralrimiva 2791 . . 3  |-  ( y  e.  RR+  ->  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( exp `  ( 1  /  y
) )  <  x  ->  ( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )
42 breq1 4218 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( exp `  (
1  /  y ) )  ->  ( c  <  x  <->  ( exp `  (
1  /  y ) )  <  x ) )
4342imbi1d 310 . . . . 5  |-  ( c  =  ( exp `  (
1  /  y ) )  ->  ( (
c  <  x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  < 
y )  <->  ( ( exp `  ( 1  / 
y ) )  < 
x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) ) )
4443ralbidv 2727 . . . 4  |-  ( c  =  ( exp `  (
1  /  y ) )  ->  ( A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( c  <  x  ->  ( abs `  ( 1  / 
( log `  x
) ) )  < 
y )  <->  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( exp `  ( 1  /  y
) )  <  x  ->  ( abs `  (
1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) ) )
4544rspcev 3054 . . 3  |-  ( ( ( exp `  (
1  /  y ) )  e.  RR  /\  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( exp `  ( 1  /  y ) )  <  x  ->  ( abs `  ( 1  / 
( log `  x
) ) )  < 
y ) )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( c  <  x  ->  ( abs `  ( 1  / 
( log `  x
) ) )  < 
y ) )
4615, 41, 45syl2anc 644 . 2  |-  ( y  e.  RR+  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( c  < 
x  ->  ( abs `  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  <  y ) )
4712, 46mprgbir 2778 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    +oocpnf 9122    < clt 9125    / cdiv 9682   RR+crp 10617   (,)cioo 10921   abscabs 12044    ~~> r crli 12284   expce 12669   logclog 20457
This theorem is referenced by:  logno1  20532  vmalogdivsum2  21237  2vmadivsumlem  21239  selberg4lem1  21259  pntrlog2bndlem2  21277  pntrlog2bndlem4  21279  pntrlog2bndlem5  21280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-sin 12677  df-cos 12678  df-pi 12680  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-log 20459
  Copyright terms: Public domain W3C validator