MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divne0d Unicode version

Theorem divne0d 9731
Description: The ratio of nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divne0d.3  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
divne0d.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divne0d  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =/=  0 )

Proof of Theorem divne0d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divne0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
3 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 divne0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
5 divne0 9615 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( A  /  B
)  =/=  0 )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1185 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717    =/= wne 2543  (class class class)co 6013   CCcc 8914   0cc0 8916    / cdiv 9602
This theorem is referenced by:  tanval3  12655  pcdiv  13146  pcqdiv  13151  sylow1lem1  15152  i1fmulc  19455  itg1mulc  19456  dvcnvlem  19720  plydivlem4  20073  tanarg  20374  logcnlem4  20396  angcld  20507  angrteqvd  20508  cosangneg2d  20509  angrtmuld  20510  ang180lem1  20511  ang180lem2  20512  ang180lem3  20513  ang180lem4  20514  ang180lem5  20515  lawcoslem1  20517  lawcos  20518  isosctrlem2  20523  isosctrlem3  20524  angpieqvdlem2  20530  mcubic  20547  cubic2  20548  cubic  20549  quartlem4  20560  tanatan  20619  qqhval2lem  24157  dmgmdivn0  24584  lgamgulmlem2  24586  gamcvg2lem  24615  ntrivcvgtail  25000  pellexlem6  26581  wallispilem4  27478  stirlinglem1  27484  stirlinglem3  27486  stirlinglem4  27487  stirlinglem7  27490  stirlinglem13  27496  stirlinglem14  27497  stirlinglem15  27498
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603
  Copyright terms: Public domain W3C validator