MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrec2d Unicode version

Theorem divrec2d 9687
Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divrec2d  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( ( 1  /  B )  x.  A ) )

Proof of Theorem divrec2d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divrec2 9588 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( ( 1  /  B )  x.  A
) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1183 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( ( 1  /  B )  x.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529  (class class class)co 5981   CCcc 8882   0cc0 8884   1c1 8885    x. cmul 8889    / cdiv 9570
This theorem is referenced by:  expaddzlem  11310  rediv  11823  imdiv  11830  geo2sum  12537  efaddlem  12582  sinhval  12642  sca2rab  19086  itg2mulclem  19316  itg2mulc  19317  dvmptdivc  19529  dvexp3  19540  dvlip  19555  dvradcnv  20015  tanregt0  20119  logtayl  20229  cxpeq  20319  chordthmlem2  20352  chordthmlem4  20354  dquartlem1  20369  asinlem3  20389  asinsin  20410  efiatan2  20435  atantayl2  20456  amgmlem  20506  basellem8  20548  chebbnd1lem3  20843  dchrmusum2  20866  dchrvmasumlem3  20871  dchrisum0lem1  20888  selberg2lem  20922  logdivbnd  20928  pntrsumo1  20937  pntrlog2bndlem5  20953  pntibndlem2  20963  pntlemr  20974  pntlemo  20979  nmblolbii  21811  blocnilem  21816  nmbdoplbi  23038  nmcoplbi  23042  nmbdfnlbi  23063  nmcfnlbi  23066  clim2div  24786  dvreasin  25783  areacirclem2  25785  areacirclem5  25789  wallispi2lem1  27411  stirlinglem5  27418  stirlinglem15  27428
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-riota 6446  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571
  Copyright terms: Public domain W3C validator