MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrec2d Unicode version

Theorem divrec2d 9754
Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divrec2d  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( ( 1  /  B )  x.  A ) )

Proof of Theorem divrec2d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divrec2 9655 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( ( 1  /  B )  x.  A
) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( ( 1  /  B )  x.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571  (class class class)co 6044   CCcc 8948   0cc0 8950   1c1 8951    x. cmul 8955    / cdiv 9637
This theorem is referenced by:  expaddzlem  11382  rediv  11895  imdiv  11902  geo2sum  12609  efaddlem  12654  sinhval  12714  sca2rab  19365  itg2mulclem  19595  itg2mulc  19596  dvmptdivc  19808  dvexp3  19819  dvlip  19834  dvradcnv  20294  tanregt0  20398  logtayl  20508  cxpeq  20598  chordthmlem2  20631  chordthmlem4  20633  dquartlem1  20648  asinlem3  20668  asinsin  20689  efiatan2  20714  atantayl2  20735  amgmlem  20785  basellem8  20827  chebbnd1lem3  21122  dchrmusum2  21145  dchrvmasumlem3  21150  dchrisum0lem1  21167  selberg2lem  21201  logdivbnd  21207  pntrsumo1  21216  pntrlog2bndlem5  21232  pntibndlem2  21242  pntlemr  21253  pntlemo  21258  nmblolbii  22257  blocnilem  22262  nmbdoplbi  23484  nmcoplbi  23488  nmbdfnlbi  23509  nmcfnlbi  23512  clim2div  25174  dvreasin  26183  areacirclem2  26185  areacirclem5  26189  wallispi2lem1  27691  stirlinglem4  27697  stirlinglem5  27698  stirlinglem15  27708
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638
  Copyright terms: Public domain W3C validator