Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divrngcl Structured version   Unicode version

Theorem divrngcl 26587
 Description: The product of two nonzero elements of a division ring is nonzero. (Contributed by Jeff Madsen, 9-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
isdivrng1.1
isdivrng1.2
isdivrng1.3 GId
isdivrng1.4
Assertion
Ref Expression
divrngcl

Proof of Theorem divrngcl
StepHypRef Expression
1 isdivrng1.1 . . 3
2 isdivrng1.2 . . 3
3 isdivrng1.3 . . 3 GId
4 isdivrng1.4 . . 3
51, 2, 3, 4isdrngo1 26586 . 2
6 ovres 6216 . . . . 5
76adantl 454 . . . 4
8 eqid 2438 . . . . . . . . 9
98grpocl 21793 . . . . . . . 8
1093expib 1157 . . . . . . 7
1110adantl 454 . . . . . 6
12 grporndm 21803 . . . . . . . . . 10
1312adantl 454 . . . . . . . . 9
14 difss 3476 . . . . . . . . . . . . . . 15
15 xpss12 4984 . . . . . . . . . . . . . . 15
1614, 14, 15mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . 14
171, 2, 4rngosm 21974 . . . . . . . . . . . . . . 15
18 fdm 5598 . . . . . . . . . . . . . . 15
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
2016, 19syl5sseqr 3399 . . . . . . . . . . . . 13
21 ssdmres 5171 . . . . . . . . . . . . 13
2220, 21sylib 190 . . . . . . . . . . . 12
2322adantr 453 . . . . . . . . . . 11
2423dmeqd 5075 . . . . . . . . . 10
25 dmxpid 5092 . . . . . . . . . 10
2624, 25syl6eq 2486 . . . . . . . . 9
2713, 26eqtrd 2470 . . . . . . . 8
2827eleq2d 2505 . . . . . . 7
2927eleq2d 2505 . . . . . . 7
3028, 29anbi12d 693 . . . . . 6
3127eleq2d 2505 . . . . . 6
3211, 30, 313imtr3d 260 . . . . 5
3332imp 420 . . . 4
347, 33eqeltrrd 2513 . . 3
35343impb 1150 . 2
365, 35syl3an1b 1221 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   cdif 3319   wss 3322  csn 3816   cxp 4879   cdm 4881   crn 4882   cres 4883  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  c1st 6350  c2nd 6351  cgr 21779  GIdcgi 21780  crngo 21968  cdrng 21998 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fo 5463  df-fv 5465  df-ov 6087  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-grpo 21784  df-rngo 21969  df-drngo 21999
 Copyright terms: Public domain W3C validator