MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divs1 Unicode version

Theorem divs1 16086
Description: The multiplicative identity of the quotient ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
divsrng.u  |-  U  =  ( R  /.s  ( R ~QG  S
) )
divsrng.i  |-  I  =  (2Ideal `  R )
divs1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
divs1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  ( U  e.  Ring  /\  [  .1.  ] ( R ~QG  S )  =  ( 1r `  U ) ) )

Proof of Theorem divs1
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divsrng.u . . 3  |-  U  =  ( R  /.s  ( R ~QG  S
) )
21a1i 10 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  U  =  ( R  /.s  ( R ~QG  S ) ) )
3 eqid 2358 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
43a1i 10 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  R
) )
5 eqid 2358 . 2  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
6 eqid 2358 . 2  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
7 divs1.o . 2  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
8 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  (LIdeal `  R )  =  (LIdeal `  R )
9 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
10 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  (LIdeal `  (oppr `  R ) )  =  (LIdeal `  (oppr
`  R ) )
11 divsrng.i . . . . . . 7  |-  I  =  (2Ideal `  R )
128, 9, 10, 112idlval 16084 . . . . . 6  |-  I  =  ( (LIdeal `  R
)  i^i  (LIdeal `  (oppr `  R
) ) )
1312elin2 3435 . . . . 5  |-  ( S  e.  I  <->  ( S  e.  (LIdeal `  R )  /\  S  e.  (LIdeal `  (oppr
`  R ) ) ) )
1413simplbi 446 . . . 4  |-  ( S  e.  I  ->  S  e.  (LIdeal `  R )
)
158lidlsubg 16066 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  (LIdeal `  R )
)  ->  S  e.  (SubGrp `  R ) )
1614, 15sylan2 460 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  S  e.  (SubGrp `  R )
)
17 eqid 2358 . . . 4  |-  ( R ~QG  S )  =  ( R ~QG  S )
183, 17eqger 14766 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  R
)  ->  ( R ~QG  S
)  Er  ( Base `  R ) )
1916, 18syl 15 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  ( R ~QG  S )  Er  ( Base `  R ) )
20 rngabl 15469 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
2120adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  R  e.  Abel )
22 ablnsg 15238 . . . . 5  |-  ( R  e.  Abel  ->  (NrmSGrp `  R
)  =  (SubGrp `  R ) )
2321, 22syl 15 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  (NrmSGrp `  R )  =  (SubGrp `  R ) )
2416, 23eleqtrrd 2435 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  S  e.  (NrmSGrp `  R )
)
253, 17, 5eqgcpbl 14770 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  R
)  ->  ( (
a ( R ~QG  S ) c  /\  b ( R ~QG  S ) d )  ->  ( a ( +g  `  R ) b ) ( R ~QG  S ) ( c ( +g  `  R ) d ) ) )
2624, 25syl 15 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  (
( a ( R ~QG  S ) c  /\  b
( R ~QG  S ) d )  ->  ( a ( +g  `  R ) b ) ( R ~QG  S ) ( c ( +g  `  R ) d ) ) )
273, 17, 11, 62idlcpbl 16085 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  (
( a ( R ~QG  S ) c  /\  b
( R ~QG  S ) d )  ->  ( a ( .r `  R ) b ) ( R ~QG  S ) ( c ( .r `  R ) d ) ) )
28 simpl 443 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
292, 4, 5, 6, 7, 19, 26, 27, 28divsrng2 15502 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  ( U  e.  Ring  /\  [  .1.  ] ( R ~QG  S )  =  ( 1r `  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   class class class wbr 4104   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    Er wer 6744   [cec 6745   Basecbs 13245   +g cplusg 13305   .rcmulr 13306    /.s cqus 13507  SubGrpcsubg 14714  NrmSGrpcnsg 14715   ~QG cqg 14716   Abelcabel 15189   Ringcrg 15436   1rcur 15438  opprcoppr 15503  LIdealclidl 16022  2Idealc2idl 16082
This theorem is referenced by:  divsrng  16087  divsrhm  16088
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-ec 6749  df-qs 6753  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-fz 10875  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-0g 13503  df-imas 13510  df-divs 13511  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-subg 14717  df-nsg 14718  df-eqg 14719  df-cmn 15190  df-abl 15191  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-oppr 15504  df-subrg 15642  df-lmod 15728  df-lss 15789  df-sra 16024  df-rgmod 16025  df-lidl 16026  df-2idl 16083
  Copyright terms: Public domain W3C validator