MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divs1 Unicode version

Theorem divs1 16269
Description: The multiplicative identity of the quotient ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
divsrng.u  |-  U  =  ( R  /.s  ( R ~QG  S
) )
divsrng.i  |-  I  =  (2Ideal `  R )
divs1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
divs1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  ( U  e.  Ring  /\  [  .1.  ] ( R ~QG  S )  =  ( 1r `  U ) ) )

Proof of Theorem divs1
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divsrng.u . . 3  |-  U  =  ( R  /.s  ( R ~QG  S
) )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  U  =  ( R  /.s  ( R ~QG  S ) ) )
3 eqid 2412 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
43a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  R
) )
5 eqid 2412 . 2  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
6 eqid 2412 . 2  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
7 divs1.o . 2  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
8 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  (LIdeal `  R )  =  (LIdeal `  R )
9 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
10 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  (LIdeal `  (oppr `  R ) )  =  (LIdeal `  (oppr
`  R ) )
11 divsrng.i . . . . . . 7  |-  I  =  (2Ideal `  R )
128, 9, 10, 112idlval 16267 . . . . . 6  |-  I  =  ( (LIdeal `  R
)  i^i  (LIdeal `  (oppr `  R
) ) )
1312elin2 3499 . . . . 5  |-  ( S  e.  I  <->  ( S  e.  (LIdeal `  R )  /\  S  e.  (LIdeal `  (oppr
`  R ) ) ) )
1413simplbi 447 . . . 4  |-  ( S  e.  I  ->  S  e.  (LIdeal `  R )
)
158lidlsubg 16249 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  (LIdeal `  R )
)  ->  S  e.  (SubGrp `  R ) )
1614, 15sylan2 461 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  S  e.  (SubGrp `  R )
)
17 eqid 2412 . . . 4  |-  ( R ~QG  S )  =  ( R ~QG  S )
183, 17eqger 14953 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  R
)  ->  ( R ~QG  S
)  Er  ( Base `  R ) )
1916, 18syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  ( R ~QG  S )  Er  ( Base `  R ) )
20 rngabl 15656 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
2120adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  R  e.  Abel )
22 ablnsg 15425 . . . . 5  |-  ( R  e.  Abel  ->  (NrmSGrp `  R
)  =  (SubGrp `  R ) )
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  (NrmSGrp `  R )  =  (SubGrp `  R ) )
2416, 23eleqtrrd 2489 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  S  e.  (NrmSGrp `  R )
)
253, 17, 5eqgcpbl 14957 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  R
)  ->  ( (
a ( R ~QG  S ) c  /\  b ( R ~QG  S ) d )  ->  ( a ( +g  `  R ) b ) ( R ~QG  S ) ( c ( +g  `  R ) d ) ) )
2624, 25syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  (
( a ( R ~QG  S ) c  /\  b
( R ~QG  S ) d )  ->  ( a ( +g  `  R ) b ) ( R ~QG  S ) ( c ( +g  `  R ) d ) ) )
273, 17, 11, 62idlcpbl 16268 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  (
( a ( R ~QG  S ) c  /\  b
( R ~QG  S ) d )  ->  ( a ( .r `  R ) b ) ( R ~QG  S ) ( c ( .r `  R ) d ) ) )
28 simpl 444 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
292, 4, 5, 6, 7, 19, 26, 27, 28divsrng2 15689 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  ( U  e.  Ring  /\  [  .1.  ] ( R ~QG  S )  =  ( 1r `  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    Er wer 6869   [cec 6870   Basecbs 13432   +g cplusg 13492   .rcmulr 13493    /.s cqus 13694  SubGrpcsubg 14901  NrmSGrpcnsg 14902   ~QG cqg 14903   Abelcabel 15376   Ringcrg 15623   1rcur 15625  opprcoppr 15690  LIdealclidl 16205  2Idealc2idl 16265
This theorem is referenced by:  divsrng  16270  divsrhm  16271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-tpos 6446  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-ec 6874  df-qs 6878  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-fz 11008  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-0g 13690  df-imas 13697  df-divs 13698  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-subg 14904  df-nsg 14905  df-eqg 14906  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-oppr 15691  df-subrg 15829  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-sra 16207  df-rgmod 16208  df-lidl 16209  df-2idl 16266
  Copyright terms: Public domain W3C validator