MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divs1 Structured version   Unicode version

Theorem divs1 16311
Description: The multiplicative identity of the quotient ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
divsrng.u  |-  U  =  ( R  /.s  ( R ~QG  S
) )
divsrng.i  |-  I  =  (2Ideal `  R )
divs1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
divs1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  ( U  e.  Ring  /\  [  .1.  ] ( R ~QG  S )  =  ( 1r `  U ) ) )

Proof of Theorem divs1
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divsrng.u . . 3  |-  U  =  ( R  /.s  ( R ~QG  S
) )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  U  =  ( R  /.s  ( R ~QG  S ) ) )
3 eqid 2438 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
43a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  R
) )
5 eqid 2438 . 2  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
6 eqid 2438 . 2  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
7 divs1.o . 2  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
8 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  (LIdeal `  R )  =  (LIdeal `  R )
9 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
10 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  (LIdeal `  (oppr `  R ) )  =  (LIdeal `  (oppr
`  R ) )
11 divsrng.i . . . . . . 7  |-  I  =  (2Ideal `  R )
128, 9, 10, 112idlval 16309 . . . . . 6  |-  I  =  ( (LIdeal `  R
)  i^i  (LIdeal `  (oppr `  R
) ) )
1312elin2 3533 . . . . 5  |-  ( S  e.  I  <->  ( S  e.  (LIdeal `  R )  /\  S  e.  (LIdeal `  (oppr
`  R ) ) ) )
1413simplbi 448 . . . 4  |-  ( S  e.  I  ->  S  e.  (LIdeal `  R )
)
158lidlsubg 16291 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  (LIdeal `  R )
)  ->  S  e.  (SubGrp `  R ) )
1614, 15sylan2 462 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  S  e.  (SubGrp `  R )
)
17 eqid 2438 . . . 4  |-  ( R ~QG  S )  =  ( R ~QG  S )
183, 17eqger 14995 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  R
)  ->  ( R ~QG  S
)  Er  ( Base `  R ) )
1916, 18syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  ( R ~QG  S )  Er  ( Base `  R ) )
20 rngabl 15698 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
2120adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  R  e.  Abel )
22 ablnsg 15467 . . . . 5  |-  ( R  e.  Abel  ->  (NrmSGrp `  R
)  =  (SubGrp `  R ) )
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  (NrmSGrp `  R )  =  (SubGrp `  R ) )
2416, 23eleqtrrd 2515 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  S  e.  (NrmSGrp `  R )
)
253, 17, 5eqgcpbl 14999 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  R
)  ->  ( (
a ( R ~QG  S ) c  /\  b ( R ~QG  S ) d )  ->  ( a ( +g  `  R ) b ) ( R ~QG  S ) ( c ( +g  `  R ) d ) ) )
2624, 25syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  (
( a ( R ~QG  S ) c  /\  b
( R ~QG  S ) d )  ->  ( a ( +g  `  R ) b ) ( R ~QG  S ) ( c ( +g  `  R ) d ) ) )
273, 17, 11, 62idlcpbl 16310 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  (
( a ( R ~QG  S ) c  /\  b
( R ~QG  S ) d )  ->  ( a ( .r `  R ) b ) ( R ~QG  S ) ( c ( .r `  R ) d ) ) )
28 simpl 445 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
292, 4, 5, 6, 7, 19, 26, 27, 28divsrng2 15731 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  I )  ->  ( U  e.  Ring  /\  [  .1.  ] ( R ~QG  S )  =  ( 1r `  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    Er wer 6905   [cec 6906   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   .rcmulr 13535    /.s cqus 13736  SubGrpcsubg 14943  NrmSGrpcnsg 14944   ~QG cqg 14945   Abelcabel 15418   Ringcrg 15665   1rcur 15667  opprcoppr 15732  LIdealclidl 16247  2Idealc2idl 16307
This theorem is referenced by:  divsrng  16312  divsrhm  16313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-ec 6910  df-qs 6914  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-0g 13732  df-imas 13739  df-divs 13740  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-nsg 14947  df-eqg 14948  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-sra 16249  df-rgmod 16250  df-lidl 16251  df-2idl 16308
  Copyright terms: Public domain W3C validator