MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsadd Unicode version

Theorem divsadd 14674
Description: Value of the group operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
divsgrp.h  |-  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  S
) )
divsadd.v  |-  V  =  ( Base `  G
)
divsadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
divsadd.a  |-  .+b  =  ( +g  `  H )
Assertion
Ref Expression
divsadd  |-  ( ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V
)  ->  ( [ X ] ( G ~QG  S ) 
.+b  [ Y ] ( G ~QG  S ) )  =  [ ( X  .+  Y ) ] ( G ~QG  S ) )

Proof of Theorem divsadd
Dummy variables  a 
b  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divsgrp.h . . 3  |-  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  S
) )
21a1i 10 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  S ) ) )
3 divsadd.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  G
)
43a1i 10 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  V  =  ( Base `  G )
)
5 nsgsubg 14649 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
6 eqid 2283 . . . 4  |-  ( G ~QG  S )  =  ( G ~QG  S )
73, 6eqger 14667 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( G ~QG  S
)  Er  V )
85, 7syl 15 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  ( G ~QG  S
)  Er  V )
9 subgrcl 14626 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
105, 9syl 15 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
11 divsadd.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
123, 6, 11eqgcpbl 14671 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  ( (
a ( G ~QG  S ) p  /\  b ( G ~QG  S ) q )  ->  ( a  .+  b ) ( G ~QG  S ) ( p  .+  q ) ) )
133, 11grpcl 14495 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  p  e.  V  /\  q  e.  V )  ->  ( p  .+  q
)  e.  V )
14133expb 1152 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V
) )  ->  (
p  .+  q )  e.  V )
1510, 14sylan 457 . 2  |-  ( ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .+  q
)  e.  V )
16 divsadd.a . 2  |-  .+b  =  ( +g  `  H )
172, 4, 8, 10, 12, 15, 11, 16divsaddval 13455 1  |-  ( ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V
)  ->  ( [ X ] ( G ~QG  S ) 
.+b  [ Y ] ( G ~QG  S ) )  =  [ ( X  .+  Y ) ] ( G ~QG  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    Er wer 6657   [cec 6658   Basecbs 13148   +g cplusg 13208    /.s cqus 13408   Grpcgrp 14362  SubGrpcsubg 14615  NrmSGrpcnsg 14616   ~QG cqg 14617
This theorem is referenced by:  divs0  14675  divsinv  14676  divssub  14677  divsghm  14719  divsabl  15157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620
  Copyright terms: Public domain W3C validator