Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsgrp Structured version   Unicode version

Theorem divsgrp 14997
 Description: If is a normal subgroup of , then is a group, called the quotient of by . (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
divsgrp.h s ~QG
Assertion
Ref Expression
divsgrp NrmSGrp

Proof of Theorem divsgrp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divsgrp.h . . . 4 s ~QG
21a1i 11 . . 3 NrmSGrp s ~QG
3 eqidd 2439 . . 3 NrmSGrp
4 eqidd 2439 . . 3 NrmSGrp
5 nsgsubg 14974 . . . 4 NrmSGrp SubGrp
6 eqid 2438 . . . . 5
7 eqid 2438 . . . . 5 ~QG ~QG
86, 7eqger 14992 . . . 4 SubGrp ~QG
95, 8syl 16 . . 3 NrmSGrp ~QG
10 subgrcl 14951 . . . 4 SubGrp
115, 10syl 16 . . 3 NrmSGrp
12 eqid 2438 . . . 4
136, 7, 12eqgcpbl 14996 . . 3 NrmSGrp ~QG ~QG ~QG
146, 12grpcl 14820 . . . 4
1511, 14syl3an1 1218 . . 3 NrmSGrp
169adantr 453 . . . . 5 NrmSGrp ~QG
1711adantr 453 . . . . . 6 NrmSGrp
18 simpr1 964 . . . . . . 7 NrmSGrp
19 simpr2 965 . . . . . . 7 NrmSGrp
2017, 18, 19, 14syl3anc 1185 . . . . . 6 NrmSGrp
21 simpr3 966 . . . . . 6 NrmSGrp
226, 12grpcl 14820 . . . . . 6
2317, 20, 21, 22syl3anc 1185 . . . . 5 NrmSGrp
2416, 23erref 6927 . . . 4 NrmSGrp ~QG
256, 12grpass 14821 . . . . 5
2611, 25sylan 459 . . . 4 NrmSGrp
2724, 26breqtrd 4238 . . 3 NrmSGrp ~QG
28 eqid 2438 . . . . 5
296, 28grpidcl 14835 . . . 4
3011, 29syl 16 . . 3 NrmSGrp
316, 12, 28grplid 14837 . . . . 5
3211, 31sylan 459 . . . 4 NrmSGrp
339adantr 453 . . . . 5 NrmSGrp ~QG
34 simpr 449 . . . . 5 NrmSGrp
3533, 34erref 6927 . . . 4 NrmSGrp ~QG
3632, 35eqbrtrd 4234 . . 3 NrmSGrp ~QG
37 eqid 2438 . . . . 5
386, 37grpinvcl 14852 . . . 4
3911, 38sylan 459 . . 3 NrmSGrp
406, 12, 28, 37grplinv 14853 . . . . 5
4111, 40sylan 459 . . . 4 NrmSGrp
4230adantr 453 . . . . 5 NrmSGrp
4333, 42erref 6927 . . . 4 NrmSGrp ~QG
4441, 43eqbrtrd 4234 . . 3 NrmSGrp ~QG
452, 3, 4, 9, 11, 13, 15, 27, 30, 36, 39, 44divsgrp2 14938 . 2 NrmSGrp ~QG
4645simpld 447 1 NrmSGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cfv 5456  (class class class)co 6083   wer 6904  cec 6905  cbs 13471   cplusg 13531  c0g 13725   s cqus 13733  cgrp 14687  cminusg 14688  SubGrpcsubg 14940  NrmSGrpcnsg 14941   ~QG cqg 14942 This theorem is referenced by:  divs0  15000  divsinv  15001  divsghm  15044  divsabl  15482  divstgplem  18152 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-0g 13729  df-imas 13736  df-divs 13737  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-subg 14943  df-nsg 14944  df-eqg 14945
 Copyright terms: Public domain W3C validator