MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsmulval Unicode version

Theorem divsmulval 13708
Description: The base set of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
divsaddf.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( R 
/.s  .~  ) )
divsaddf.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
divsaddf.r  |-  ( ph  ->  .~  Er  V )
divsaddf.z  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
divsaddf.e  |-  ( ph  ->  ( ( a  .~  p  /\  b  .~  q
)  ->  ( a  .x.  b )  .~  (
p  .x.  q )
) )
divsaddf.c  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .x.  q
)  e.  V )
divsmulf.p  |-  .x.  =  ( .r `  R )
divsmulf.a  |-  .xb  =  ( .r `  U )
Assertion
Ref Expression
divsmulval  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V
)  ->  ( [ X ]  .~  .xb  [ Y ]  .~  )  =  [
( X  .x.  Y
) ]  .~  )
Distinct variable groups:    a, b, p, q,  .~    ph, a,
b, p, q    V, a, b, p, q    R, p, q    .x. , p, q    X, p, q    .xb , a,
b, p, q    Y, p, q
Allowed substitution hints:    R( a, b)    .x. ( a, b)    U( q, p, a, b)    X( a, b)    Y( a, b)    Z( q, p, a, b)

Proof of Theorem divsmulval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divsaddf.u . 2  |-  ( ph  ->  U  =  ( R 
/.s  .~  ) )
2 divsaddf.v . 2  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 divsaddf.r . 2  |-  ( ph  ->  .~  Er  V )
4 divsaddf.z . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
5 divsaddf.e . 2  |-  ( ph  ->  ( ( a  .~  p  /\  b  .~  q
)  ->  ( a  .x.  b )  .~  (
p  .x.  q )
) )
6 divsaddf.c . 2  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .x.  q
)  e.  V )
7 eqid 2388 . 2  |-  ( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  )  =  ( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  )
8 fvex 5683 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
92, 8syl6eqel 2476 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
10 erex 6866 . . . . 5  |-  (  .~  Er  V  ->  ( V  e.  _V  ->  .~  e.  _V ) )
113, 9, 10sylc 58 . . . 4  |-  ( ph  ->  .~  e.  _V )
121, 2, 7, 11, 4divsval 13695 . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  )  "s  R ) )
131, 2, 7, 11, 4divslem 13696 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  ) : V -onto-> ( V /.  .~  ) )
14 divsmulf.p . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
15 divsmulf.a . . 3  |-  .xb  =  ( .r `  U )
1612, 2, 13, 4, 14, 15imasmulr 13672 . 2  |-  ( ph  -> 
.xb  =  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. (
( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  ) `  p ) ,  ( ( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  ) `  q
) >. ,  ( ( x  e.  V  |->  [ x ]  .~  ) `  ( p  .x.  q
) ) >. } )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 16divsaddvallem 13704 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V
)  ->  ( [ X ]  .~  .xb  [ Y ]  .~  )  =  [
( X  .x.  Y
) ]  .~  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    Er wer 6839   [cec 6840   /.cqs 6841   Basecbs 13397   .rcmulr 13458    /.s cqus 13659
This theorem is referenced by:  divsrhm  16236  divscrng  16239
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-ec 6844  df-qs 6848  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-fz 10977  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-imas 13662  df-divs 13663
  Copyright terms: Public domain W3C validator