MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsqrsumlem Unicode version

Theorem divsqrsumlem 20290
Description: Lemma for divsqrsum 20292 and divsqrsum2 20293. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
divsqrsum.2  |-  F  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
divsqrsumlem  |-  ( F : RR+ --> RR  /\  F  e.  dom  ~~> r  /\  (
( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( F `  A
)  -  L ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  A
) ) ) )
Distinct variable group:    x, n, A
Allowed substitution hints:    F( x, n)    L( x, n)

Proof of Theorem divsqrsumlem
StepHypRef Expression
1 ioorp 10743 . . . . . 6  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  RR+
21eqcomi 2300 . . . . 5  |-  RR+  =  ( 0 (,)  +oo )
3 nnuz 10279 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4 1z 10069 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
54a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
6 0re 8854 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
76a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  0  e.  RR )
8 1re 8853 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
9 0nn0 9996 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
108, 9nn0addge2i 10029 . . . . . 6  |-  1  <_  ( 0  +  1 )
1110a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  <_  ( 0  +  1 ) )
12 2re 9831 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
13 rpsqrcl 11766 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
1413adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
1514rpred 10406 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
16 remulcl 8838 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  x )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  e.  RR )
1712, 15, 16sylancr 644 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
1814rprecred 10417 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
19 nnrp 10379 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR+ )
2019, 18sylan2 460 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  NN )  ->  (
1  /  ( sqr `  x ) )  e.  RR )
21 reex 8844 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
2221prid1 3747 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2322a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
2414rpcnd 10408 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
25 2rp 10375 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
26 rpmulcl 10391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( sqr `  x )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  e.  RR+ )
2725, 14, 26sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  e.  RR+ )
2827rpreccld 10416 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  e.  RR+ )
29 dvsqr 20100 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )
3029a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) ) )
31 2cn 9832 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
3231a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  2  e.  CC )
3323, 24, 28, 30, 32dvmptcmul 19329 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
3431a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
35 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
3635a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
3727rpcnne0d 10415 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( sqr `  x ) )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  =/=  0
) )
38 divass 9458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  e.  CC  /\  (
2  x.  ( sqr `  x ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  1 )  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) ) ) )
3934, 36, 37, 38syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  =  ( 2  x.  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) ) )
4014rpcnne0d 10415 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  x )  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0 ) )
41 rpcnne0 10387 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
4225, 41mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
43 divcan5 9478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( sqr `  x
)  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )
4436, 40, 42, 43syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )
4539, 44eqtr3d 2330 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )
4645mpteq2dva 4122 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) ) )
4733, 46eqtrd 2328 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  / 
( sqr `  x
) ) ) )
48 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  ( sqr `  x )  =  ( sqr `  n
) )
4948oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
1  /  ( sqr `  x ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) )
50 simp3r 984 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  x  <_  n
)
51 simp2l 981 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  x  e.  RR+ )
5251rprege0d 10413 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
53 simp2r 982 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  n  e.  RR+ )
5453rprege0d 10413 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
55 sqrle 11762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )
)  ->  ( x  <_  n  <->  ( sqr `  x
)  <_  ( sqr `  n ) ) )
5652, 54, 55syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( x  <_  n 
<->  ( sqr `  x
)  <_  ( sqr `  n ) ) )
5750, 56mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( sqr `  x
)  <_  ( sqr `  n ) )
5851rpsqrcld 11910 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( sqr `  x
)  e.  RR+ )
5953rpsqrcld 11910 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( sqr `  n
)  e.  RR+ )
6058, 59lerecd 10425 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( ( sqr `  x )  <_  ( sqr `  n )  <->  ( 1  /  ( sqr `  n
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  x ) ) ) )
6157, 60mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( 1  / 
( sqr `  n
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  x ) ) )
62 divsqrsum.2 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )
63 sqrlim 20283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) )  ~~> r  0
6463a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )  ~~> r  0 )
65 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( sqr `  x )  =  ( sqr `  A
) )
6665oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
1  /  ( sqr `  x ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  A ) ) )
672, 3, 5, 7, 11, 7, 17, 18, 20, 47, 49, 61, 62, 64, 66dvfsumrlim3 19396 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( F : RR+ --> RR 
/\  F  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  0  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  L ) )  <_ 
( 1  /  ( sqr `  A ) ) ) ) )
6867simp1d 967 . . 3  |-  (  T. 
->  F : RR+ --> RR )
6968trud 1314 . 2  |-  F : RR+
--> RR
7067simp2d 968 . . 3  |-  (  T. 
->  F  e.  dom  ~~> r  )
7170trud 1314 . 2  |-  F  e. 
dom 
~~> r
72 rpge0 10382 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )
7372adantl 452 . . 3  |-  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  -> 
0  <_  A )
7467simp3d 969 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  0  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  L ) )  <_ 
( 1  /  ( sqr `  A ) ) ) )
7574trud 1314 . . 3  |-  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  0  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  L ) )  <_ 
( 1  /  ( sqr `  A ) ) )
7673, 75mpd3an3 1278 . 2  |-  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  -> 
( abs `  (
( F `  A
)  -  L ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  A
) ) )
7769, 71, 763pm3.2i 1130 1  |-  ( F : RR+ --> RR  /\  F  e.  dom  ~~> r  /\  (
( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( F `  A
)  -  L ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  A
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   {cpr 3654   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   ZZcz 10040   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   ...cfz 10798   |_cfl 10940   sqrcsqr 11734   abscabs 11735    ~~> r crli 11975   sum_csu 12174    _D cdv 19229
This theorem is referenced by:  divsqrsumf  20291  divsqrsum  20292  divsqrsum2  20293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931
  Copyright terms: Public domain W3C validator