Theorem divsqrsumlem 20779

Description: Lemma for divsqrsum 20781 and divsqrsum2 20782. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
divsqrsum.2	|- F = ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` n ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
divsqrsumlem	|- ( F : RR+ --> RR /\ F e. dom ~~> r /\ ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` A ) ) ) )

Distinct variable group:   x, n, A

Allowed substitution hints:   F( x, n)   L( x, n)

Proof of Theorem divsqrsumlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorp 10952	. . . . . 6 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
2	1	eqcomi 2416	. . . . 5 |- RR+ = ( 0 (,) +oo )
3		nnuz 10485	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
4		1z 10275	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
5	4	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
6		0re 9055	. . . . . 6 |- 0 e. RR
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> 0 e. RR )
8		1re 9054	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
9		0nn0 10200	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
10	8, 9	nn0addge2i 10233	. . . . . 6 |- 1 <_ ( 0 + 1 )
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> 1 <_ ( 0 + 1 ) )
12		2re 10033	. . . . . 6 |- 2 e. RR
13		rpsqrcl 12033	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
14	13	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
15	14	rpred 10612	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
16		remulcl 9039	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR /\ ( sqr ` x ) e. RR ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. RR )
17	12, 15, 16	sylancr 645	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. RR )
18	14	rprecred 10623	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / ( sqr ` x ) ) e. RR )
19		nnrp 10585	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> x e. RR+ )
20	19, 18	sylan2 461	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. NN ) -> ( 1 / ( sqr ` x ) ) e. RR )
21		reex 9045	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
22	21	prid1 3880	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> RR e. { RR , CC } )
24	14	rpcnd 10614	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. CC )
25		2rp 10581	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
26		rpmulcl 10597	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( sqr ` x ) e. RR+ ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. RR+ )
27	25, 14, 26	sylancr 645	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. RR+ )
28	27	rpreccld 10622	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) e. RR+ )
29		dvsqr 20589	. . . . . . . 8 |- ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) )
30	29	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) )
31		2cn 10034	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> 2 e. CC )
33	23, 24, 28, 30, 32	dvmptcmul 19811	. . . . . 6 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) ) )
34	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> 2 e. CC )
35		ax-1cn 9012	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> 1 e. CC )
37	27	rpcnne0d 10621	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. CC /\ ( 2 x. ( sqr ` x ) ) =/= 0 ) )
38		divass 9660	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. CC /\ 1 e. CC /\ ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. CC /\ ( 2 x. ( sqr ` x ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) )
39	34, 36, 37, 38	syl3anc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) )
40	14	rpcnne0d 10621	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( sqr ` x ) e. CC /\ ( sqr ` x ) =/= 0 ) )
41		rpcnne0 10593	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. RR+ -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
42	25, 41	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
43		divcan5 9680	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( sqr ` x ) e. CC /\ ( sqr ` x ) =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) = ( 1 / ( sqr ` x ) ) )
44	36, 40, 42, 43	syl3anc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) = ( 1 / ( sqr ` x ) ) )
45	39, 44	eqtr3d 2446	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) = ( 1 / ( sqr ` x ) ) )
46	45	mpteq2dva 4263	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) )
47	33, 46	eqtrd 2444	. . . . 5 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) )
48		fveq2 5695	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( sqr ` x ) = ( sqr ` n ) )
49	48	oveq2d 6064	. . . . 5 |- ( x = n -> ( 1 / ( sqr ` x ) ) = ( 1 / ( sqr ` n ) ) )
50		simp3r 986	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> x <_ n )
51		simp2l 983	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> x e. RR+ )
52	51	rprege0d 10619	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
53		simp2r 984	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> n e. RR+ )
54	53	rprege0d 10619	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( n e. RR /\ 0 <_ n ) )
55		sqrle 12029	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( n e. RR /\ 0 <_ n ) ) -> ( x <_ n <-> ( sqr ` x ) <_ ( sqr ` n ) ) )
56	52, 54, 55	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( x <_ n <-> ( sqr ` x ) <_ ( sqr ` n ) ) )
57	50, 56	mpbid 202	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( sqr ` x ) <_ ( sqr ` n ) )
58	51	rpsqrcld 12177	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
59	53	rpsqrcld 12177	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( sqr ` n ) e. RR+ )
60	58, 59	lerecd 10631	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( ( sqr ` x ) <_ ( sqr ` n ) <-> ( 1 / ( sqr ` n ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) )
61	57, 60	mpbid 202	. . . . 5 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( 1 / ( sqr ` n ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` x ) ) )
62		divsqrsum.2	. . . . 5 |- F = ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` n ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) )
63		sqrlim 20772	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r 0
64	63	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r 0 )
65		fveq2 5695	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( sqr ` x ) = ( sqr ` A ) )
66	65	oveq2d 6064	. . . . 5 |- ( x = A -> ( 1 / ( sqr ` x ) ) = ( 1 / ( sqr ` A ) ) )
67	2, 3, 5, 7, 11, 7, 17, 18, 20, 47, 49, 61, 62, 64, 66	dvfsumrlim3 19878	. . . 4 |- ( T. -> ( F : RR+ --> RR /\ F e. dom ~~> r /\ ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ /\ 0 <_ A ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` A ) ) ) ) )
68	67	simp1d 969	. . 3 |- ( T. -> F : RR+ --> RR )
69	68	trud 1329	. 2 |- F : RR+ --> RR
70	67	simp2d 970	. . 3 |- ( T. -> F e. dom ~~> r )
71	70	trud 1329	. 2 |- F e. dom ~~> r
72		rpge0 10588	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> 0 <_ A )
73	72	adantl 453	. . 3 |- ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ ) -> 0 <_ A )
74	67	simp3d 971	. . . 4 |- ( T. -> ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ /\ 0 <_ A ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` A ) ) ) )
75	74	trud 1329	. . 3 |- ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ /\ 0 <_ A ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` A ) ) )
76	73, 75	mpd3an3 1280	. 2 |- ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` A ) ) )
77	69, 71, 76	3pm3.2i 1132	1 |- ( F : RR+ --> RR /\ F e. dom ~~> r /\ ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   T. wtru 1322   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2575   {cpr 3783   class class class wbr 4180   e. cmpt 4234   dom cdm 4845   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955   + caddc 8957   x. cmul 8959   +oocpnf 9081   <_ cle 9085   - cmin 9255   / cdiv 9641   NNcn 9964   2c2 10013   ZZcz 10246   RR+crp 10576   (,)cioo 10880   ...cfz 11007   |_cfl 11164   sqrcsqr 12001   abscabs 12002   ~~> r crli 12242   sum_csu 12442   _D cdv 19711

This theorem is referenced by:  divsqrsumf  20780  divsqrsum  20781  divsqrsum2  20782

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-sin 12635  df-cos 12636  df-pi 12638  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-cmp 17412  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-log 20415  df-cxp 20416