Theorem divsqrsumlem 20274

Description: Lemma for divsqrsum 20276 and divsqrsum2 20277. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
divsqrsum.2	|- F = ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` n ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
divsqrsumlem	|- ( F : RR+ --> RR /\ F e. dom ~~> r /\ ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` A ) ) ) )

Distinct variable group:   x, n, A

Allowed substitution hints:   F( x, n)   L( x, n)

Proof of Theorem divsqrsumlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorp 10727	. . . . . 6 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
2	1	eqcomi 2287	. . . . 5 |- RR+ = ( 0 (,) +oo )
3		nnuz 10263	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
4		1z 10053	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
5	4	a1i 10	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
6		0re 8838	. . . . . 6 |- 0 e. RR
7	6	a1i 10	. . . . 5 |- ( T. -> 0 e. RR )
8		1re 8837	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
9		0nn0 9980	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
10	8, 9	nn0addge2i 10013	. . . . . 6 |- 1 <_ ( 0 + 1 )
11	10	a1i 10	. . . . 5 |- ( T. -> 1 <_ ( 0 + 1 ) )
12		2re 9815	. . . . . 6 |- 2 e. RR
13		rpsqrcl 11750	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
14	13	adantl 452	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
15	14	rpred 10390	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
16		remulcl 8822	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR /\ ( sqr ` x ) e. RR ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. RR )
17	12, 15, 16	sylancr 644	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. RR )
18	14	rprecred 10401	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / ( sqr ` x ) ) e. RR )
19		nnrp 10363	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> x e. RR+ )
20	19, 18	sylan2 460	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. NN ) -> ( 1 / ( sqr ` x ) ) e. RR )
21		reex 8828	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
22	21	prid1 3734	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
23	22	a1i 10	. . . . . . 7 |- ( T. -> RR e. { RR , CC } )
24	14	rpcnd 10392	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. CC )
25		2rp 10359	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
26		rpmulcl 10375	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( sqr ` x ) e. RR+ ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. RR+ )
27	25, 14, 26	sylancr 644	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. RR+ )
28	27	rpreccld 10400	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) e. RR+ )
29		dvsqr 20084	. . . . . . . 8 |- ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) )
30	29	a1i 10	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) )
31		2cn 9816	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
32	31	a1i 10	. . . . . . 7 |- ( T. -> 2 e. CC )
33	23, 24, 28, 30, 32	dvmptcmul 19313	. . . . . 6 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) ) )
34	31	a1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> 2 e. CC )
35		ax-1cn 8795	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
36	35	a1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> 1 e. CC )
37	27	rpcnne0d 10399	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. CC /\ ( 2 x. ( sqr ` x ) ) =/= 0 ) )
38		divass 9442	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. CC /\ 1 e. CC /\ ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. CC /\ ( 2 x. ( sqr ` x ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) )
39	34, 36, 37, 38	syl3anc 1182	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) )
40	14	rpcnne0d 10399	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( sqr ` x ) e. CC /\ ( sqr ` x ) =/= 0 ) )
41		rpcnne0 10371	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. RR+ -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
42	25, 41	mp1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
43		divcan5 9462	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( sqr ` x ) e. CC /\ ( sqr ` x ) =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) = ( 1 / ( sqr ` x ) ) )
44	36, 40, 42, 43	syl3anc 1182	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) = ( 1 / ( sqr ` x ) ) )
45	39, 44	eqtr3d 2317	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) = ( 1 / ( sqr ` x ) ) )
46	45	mpteq2dva 4106	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) )
47	33, 46	eqtrd 2315	. . . . 5 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) )
48		fveq2 5525	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( sqr ` x ) = ( sqr ` n ) )
49	48	oveq2d 5874	. . . . 5 |- ( x = n -> ( 1 / ( sqr ` x ) ) = ( 1 / ( sqr ` n ) ) )
50		simp3r 984	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> x <_ n )
51		simp2l 981	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> x e. RR+ )
52	51	rprege0d 10397	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
53		simp2r 982	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> n e. RR+ )
54	53	rprege0d 10397	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( n e. RR /\ 0 <_ n ) )
55		sqrle 11746	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( n e. RR /\ 0 <_ n ) ) -> ( x <_ n <-> ( sqr ` x ) <_ ( sqr ` n ) ) )
56	52, 54, 55	syl2anc 642	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( x <_ n <-> ( sqr ` x ) <_ ( sqr ` n ) ) )
57	50, 56	mpbid 201	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( sqr ` x ) <_ ( sqr ` n ) )
58	51	rpsqrcld 11894	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
59	53	rpsqrcld 11894	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( sqr ` n ) e. RR+ )
60	58, 59	lerecd 10409	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( ( sqr ` x ) <_ ( sqr ` n ) <-> ( 1 / ( sqr ` n ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) )
61	57, 60	mpbid 201	. . . . 5 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( 1 / ( sqr ` n ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` x ) ) )
62		divsqrsum.2	. . . . 5 |- F = ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` n ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) )
63		sqrlim 20267	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r 0
64	63	a1i 10	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r 0 )
65		fveq2 5525	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( sqr ` x ) = ( sqr ` A ) )
66	65	oveq2d 5874	. . . . 5 |- ( x = A -> ( 1 / ( sqr ` x ) ) = ( 1 / ( sqr ` A ) ) )
67	2, 3, 5, 7, 11, 7, 17, 18, 20, 47, 49, 61, 62, 64, 66	dvfsumrlim3 19380	. . . 4 |- ( T. -> ( F : RR+ --> RR /\ F e. dom ~~> r /\ ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ /\ 0 <_ A ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` A ) ) ) ) )
68	67	simp1d 967	. . 3 |- ( T. -> F : RR+ --> RR )
69	68	trud 1314	. 2 |- F : RR+ --> RR
70	67	simp2d 968	. . 3 |- ( T. -> F e. dom ~~> r )
71	70	trud 1314	. 2 |- F e. dom ~~> r
72		rpge0 10366	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> 0 <_ A )
73	72	adantl 452	. . 3 |- ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ ) -> 0 <_ A )
74	67	simp3d 969	. . . 4 |- ( T. -> ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ /\ 0 <_ A ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` A ) ) ) )
75	74	trud 1314	. . 3 |- ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ /\ 0 <_ A ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` A ) ) )
76	73, 75	mpd3an3 1278	. 2 |- ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` A ) ) )
77	69, 71, 76	3pm3.2i 1130	1 |- ( F : RR+ --> RR /\ F e. dom ~~> r /\ ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   /\ w3a 934   T. wtru 1307   = wceq 1623   e. wcel 1684   =/= wne 2446   {cpr 3641   class class class wbr 4023   e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   + caddc 8740   x. cmul 8742   +oocpnf 8864   <_ cle 8868   - cmin 9037   / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   ...cfz 10782   |_cfl 10924   sqrcsqr 11718   abscabs 11719   ~~> r crli 11959   sum_csu 12158   _D cdv 19213

This theorem is referenced by:  divsqrsumf  20275  divsqrsum  20276  divsqrsum2  20277

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915