MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsqrsumlem Unicode version

Theorem divsqrsumlem 20274
Description: Lemma for divsqrsum 20276 and divsqrsum2 20277. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
divsqrsum.2  |-  F  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
divsqrsumlem  |-  ( F : RR+ --> RR  /\  F  e.  dom  ~~> r  /\  (
( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( F `  A
)  -  L ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  A
) ) ) )
Distinct variable group:    x, n, A
Allowed substitution hints:    F( x, n)    L( x, n)

Proof of Theorem divsqrsumlem
StepHypRef Expression
1 ioorp 10727 . . . . . 6  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  RR+
21eqcomi 2287 . . . . 5  |-  RR+  =  ( 0 (,)  +oo )
3 nnuz 10263 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4 1z 10053 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
54a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
6 0re 8838 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
76a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  0  e.  RR )
8 1re 8837 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
9 0nn0 9980 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
108, 9nn0addge2i 10013 . . . . . 6  |-  1  <_  ( 0  +  1 )
1110a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  <_  ( 0  +  1 ) )
12 2re 9815 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
13 rpsqrcl 11750 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
1413adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
1514rpred 10390 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
16 remulcl 8822 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  x )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  e.  RR )
1712, 15, 16sylancr 644 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
1814rprecred 10401 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
19 nnrp 10363 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR+ )
2019, 18sylan2 460 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  NN )  ->  (
1  /  ( sqr `  x ) )  e.  RR )
21 reex 8828 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
2221prid1 3734 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2322a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
2414rpcnd 10392 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
25 2rp 10359 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
26 rpmulcl 10375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( sqr `  x )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  e.  RR+ )
2725, 14, 26sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  e.  RR+ )
2827rpreccld 10400 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  e.  RR+ )
29 dvsqr 20084 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )
3029a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) ) )
31 2cn 9816 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
3231a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  2  e.  CC )
3323, 24, 28, 30, 32dvmptcmul 19313 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
3431a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
35 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
3635a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
3727rpcnne0d 10399 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( sqr `  x ) )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  =/=  0
) )
38 divass 9442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  e.  CC  /\  (
2  x.  ( sqr `  x ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  1 )  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  x ) ) ) ) )
3934, 36, 37, 38syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  =  ( 2  x.  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) ) )
4014rpcnne0d 10399 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  x )  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0 ) )
41 rpcnne0 10371 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
4225, 41mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
43 divcan5 9462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( sqr `  x
)  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( (
2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )
4436, 40, 42, 43syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )
4539, 44eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )
4645mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) ) )
4733, 46eqtrd 2315 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  / 
( sqr `  x
) ) ) )
48 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  ( sqr `  x )  =  ( sqr `  n
) )
4948oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
1  /  ( sqr `  x ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) )
50 simp3r 984 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  x  <_  n
)
51 simp2l 981 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  x  e.  RR+ )
5251rprege0d 10397 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
53 simp2r 982 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  n  e.  RR+ )
5453rprege0d 10397 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
55 sqrle 11746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )
)  ->  ( x  <_  n  <->  ( sqr `  x
)  <_  ( sqr `  n ) ) )
5652, 54, 55syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( x  <_  n 
<->  ( sqr `  x
)  <_  ( sqr `  n ) ) )
5750, 56mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( sqr `  x
)  <_  ( sqr `  n ) )
5851rpsqrcld 11894 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( sqr `  x
)  e.  RR+ )
5953rpsqrcld 11894 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( sqr `  n
)  e.  RR+ )
6058, 59lerecd 10409 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( ( sqr `  x )  <_  ( sqr `  n )  <->  ( 1  /  ( sqr `  n
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  x ) ) ) )
6157, 60mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  x  /\  x  <_  n ) )  ->  ( 1  / 
( sqr `  n
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  x ) ) )
62 divsqrsum.2 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )
63 sqrlim 20267 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) )  ~~> r  0
6463a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )  ~~> r  0 )
65 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( sqr `  x )  =  ( sqr `  A
) )
6665oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
1  /  ( sqr `  x ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  A ) ) )
672, 3, 5, 7, 11, 7, 17, 18, 20, 47, 49, 61, 62, 64, 66dvfsumrlim3 19380 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( F : RR+ --> RR 
/\  F  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  0  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  L ) )  <_ 
( 1  /  ( sqr `  A ) ) ) ) )
6867simp1d 967 . . 3  |-  (  T. 
->  F : RR+ --> RR )
6968trud 1314 . 2  |-  F : RR+
--> RR
7067simp2d 968 . . 3  |-  (  T. 
->  F  e.  dom  ~~> r  )
7170trud 1314 . 2  |-  F  e. 
dom 
~~> r
72 rpge0 10366 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )
7372adantl 452 . . 3  |-  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  -> 
0  <_  A )
7467simp3d 969 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  0  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  L ) )  <_ 
( 1  /  ( sqr `  A ) ) ) )
7574trud 1314 . . 3  |-  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  0  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  L ) )  <_ 
( 1  /  ( sqr `  A ) ) )
7673, 75mpd3an3 1278 . 2  |-  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  -> 
( abs `  (
( F `  A
)  -  L ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  A
) ) )
7769, 71, 763pm3.2i 1130 1  |-  ( F : RR+ --> RR  /\  F  e.  dom  ~~> r  /\  (
( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( F `  A
)  -  L ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  A
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {cpr 3641   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   ...cfz 10782   |_cfl 10924   sqrcsqr 11718   abscabs 11719    ~~> r crli 11959   sum_csu 12158    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  divsqrsumf  20275  divsqrsum  20276  divsqrsum2  20277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915
  Copyright terms: Public domain W3C validator