Theorem divsqrsumlem 20823

Description: Lemma for divsqrsum 20825 and divsqrsum2 20826. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
divsqrsum.2	|- F = ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` n ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
divsqrsumlem	|- ( F : RR+ --> RR /\ F e. dom ~~> r /\ ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` A ) ) ) )

Distinct variable group:   x, n, A

Allowed substitution hints:   F( x, n)   L( x, n)

Proof of Theorem divsqrsumlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorp 10993	. . . . . 6 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
2	1	eqcomi 2442	. . . . 5 |- RR+ = ( 0 (,) +oo )
3		nnuz 10526	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
4		1z 10316	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
5	4	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
6		0re 9096	. . . . . 6 |- 0 e. RR
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> 0 e. RR )
8		1re 9095	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
9		0nn0 10241	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
10	8, 9	nn0addge2i 10274	. . . . . 6 |- 1 <_ ( 0 + 1 )
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> 1 <_ ( 0 + 1 ) )
12		2re 10074	. . . . . 6 |- 2 e. RR
13		rpsqrcl 12075	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
14	13	adantl 454	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
15	14	rpred 10653	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
16		remulcl 9080	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR /\ ( sqr ` x ) e. RR ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. RR )
17	12, 15, 16	sylancr 646	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. RR )
18	14	rprecred 10664	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / ( sqr ` x ) ) e. RR )
19		nnrp 10626	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> x e. RR+ )
20	19, 18	sylan2 462	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. NN ) -> ( 1 / ( sqr ` x ) ) e. RR )
21		reex 9086	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
22	21	prid1 3914	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> RR e. { RR , CC } )
24	14	rpcnd 10655	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. CC )
25		2rp 10622	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
26		rpmulcl 10638	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( sqr ` x ) e. RR+ ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. RR+ )
27	25, 14, 26	sylancr 646	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. RR+ )
28	27	rpreccld 10663	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) e. RR+ )
29		dvsqr 20633	. . . . . . . 8 |- ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) )
30	29	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) )
31		2cn 10075	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> 2 e. CC )
33	23, 24, 28, 30, 32	dvmptcmul 19855	. . . . . 6 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) ) )
34	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> 2 e. CC )
35		ax-1cn 9053	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> 1 e. CC )
37	27	rpcnne0d 10662	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. CC /\ ( 2 x. ( sqr ` x ) ) =/= 0 ) )
38		divass 9701	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. CC /\ 1 e. CC /\ ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. CC /\ ( 2 x. ( sqr ` x ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) )
39	34, 36, 37, 38	syl3anc 1185	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) )
40	14	rpcnne0d 10662	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( sqr ` x ) e. CC /\ ( sqr ` x ) =/= 0 ) )
41		rpcnne0 10634	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. RR+ -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
42	25, 41	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
43		divcan5 9721	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( sqr ` x ) e. CC /\ ( sqr ` x ) =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) = ( 1 / ( sqr ` x ) ) )
44	36, 40, 42, 43	syl3anc 1185	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) = ( 1 / ( sqr ` x ) ) )
45	39, 44	eqtr3d 2472	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) = ( 1 / ( sqr ` x ) ) )
46	45	mpteq2dva 4298	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) )
47	33, 46	eqtrd 2470	. . . . 5 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) )
48		fveq2 5731	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( sqr ` x ) = ( sqr ` n ) )
49	48	oveq2d 6100	. . . . 5 |- ( x = n -> ( 1 / ( sqr ` x ) ) = ( 1 / ( sqr ` n ) ) )
50		simp3r 987	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> x <_ n )
51		simp2l 984	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> x e. RR+ )
52	51	rprege0d 10660	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
53		simp2r 985	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> n e. RR+ )
54	53	rprege0d 10660	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( n e. RR /\ 0 <_ n ) )
55		sqrle 12071	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( n e. RR /\ 0 <_ n ) ) -> ( x <_ n <-> ( sqr ` x ) <_ ( sqr ` n ) ) )
56	52, 54, 55	syl2anc 644	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( x <_ n <-> ( sqr ` x ) <_ ( sqr ` n ) ) )
57	50, 56	mpbid 203	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( sqr ` x ) <_ ( sqr ` n ) )
58	51	rpsqrcld 12219	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
59	53	rpsqrcld 12219	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( sqr ` n ) e. RR+ )
60	58, 59	lerecd 10672	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( ( sqr ` x ) <_ ( sqr ` n ) <-> ( 1 / ( sqr ` n ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) )
61	57, 60	mpbid 203	. . . . 5 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x <_ n ) ) -> ( 1 / ( sqr ` n ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` x ) ) )
62		divsqrsum.2	. . . . 5 |- F = ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` n ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) )
63		sqrlim 20816	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r 0
64	63	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r 0 )
65		fveq2 5731	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( sqr ` x ) = ( sqr ` A ) )
66	65	oveq2d 6100	. . . . 5 |- ( x = A -> ( 1 / ( sqr ` x ) ) = ( 1 / ( sqr ` A ) ) )
67	2, 3, 5, 7, 11, 7, 17, 18, 20, 47, 49, 61, 62, 64, 66	dvfsumrlim3 19922	. . . 4 |- ( T. -> ( F : RR+ --> RR /\ F e. dom ~~> r /\ ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ /\ 0 <_ A ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` A ) ) ) ) )
68	67	simp1d 970	. . 3 |- ( T. -> F : RR+ --> RR )
69	68	trud 1333	. 2 |- F : RR+ --> RR
70	67	simp2d 971	. . 3 |- ( T. -> F e. dom ~~> r )
71	70	trud 1333	. 2 |- F e. dom ~~> r
72		rpge0 10629	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> 0 <_ A )
73	72	adantl 454	. . 3 |- ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ ) -> 0 <_ A )
74	67	simp3d 972	. . . 4 |- ( T. -> ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ /\ 0 <_ A ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` A ) ) ) )
75	74	trud 1333	. . 3 |- ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ /\ 0 <_ A ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` A ) ) )
76	73, 75	mpd3an3 1281	. 2 |- ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` A ) ) )
77	69, 71, 76	3pm3.2i 1133	1 |- ( F : RR+ --> RR /\ F e. dom ~~> r /\ ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 178   /\ wa 360   /\ w3a 937   T. wtru 1326   = wceq 1653   e. wcel 1726   =/= wne 2601   {cpr 3817   class class class wbr 4215   e. cmpt 4269   dom cdm 4881   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996   + caddc 8998   x. cmul 9000   +oocpnf 9122   <_ cle 9126   - cmin 9296   / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   ZZcz 10287   RR+crp 10617   (,)cioo 10921   ...cfz 11048   |_cfl 11206   sqrcsqr 12043   abscabs 12044   ~~> r crli 12284   sum_csu 12484   _D cdv 19755

This theorem is referenced by:  divsqrsumf  20824  divsqrsum  20825  divsqrsum2  20826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-sin 12677  df-cos 12678  df-pi 12680  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-cmp 17455  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-log 20459  df-cxp 20460