Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divstgphaus Structured version   Unicode version

Theorem divstgphaus 18145
 Description: The quotient of a topological group by a closed normal subgroup is a Hausdorff topological group. In particular, the quotient by the closure of the identity is a Hausdorff group, isomorphic to both the Kolmogorov quotient and the Hausdorff quotient operations on topological spaces (because T0 and Hausdorff coincide for topological groups). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
divstgp.h s ~QG
divstgphaus.j
divstgphaus.k
Assertion
Ref Expression
divstgphaus NrmSGrp

Proof of Theorem divstgphaus
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divstgp.h . . . . . . . 8 s ~QG
2 eqid 2436 . . . . . . . 8
31, 2divs0 14991 . . . . . . 7 NrmSGrp ~QG
433ad2ant2 979 . . . . . 6 NrmSGrp ~QG
5 tgpgrp 18101 . . . . . . . . 9
653ad2ant1 978 . . . . . . . 8 NrmSGrp
7 eqid 2436 . . . . . . . . 9
87, 2grpidcl 14826 . . . . . . . 8
96, 8syl 16 . . . . . . 7 NrmSGrp
10 ovex 6099 . . . . . . . 8 ~QG
1110ecelqsi 6953 . . . . . . 7 ~QG ~QG
129, 11syl 16 . . . . . 6 NrmSGrp ~QG ~QG
134, 12eqeltrrd 2511 . . . . 5 NrmSGrp ~QG
1413snssd 3936 . . . 4 NrmSGrp ~QG
15 eqid 2436 . . . . . . 7 ~QG ~QG
1615mptpreima 5356 . . . . . 6 ~QG ~QG
17 nsgsubg 14965 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp SubGrp
18173ad2ant2 979 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp SubGrp
19 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11 ~QG ~QG
207, 19, 2eqgid 14985 . . . . . . . . . 10 SubGrp ~QG
2118, 20syl 16 . . . . . . . . 9 NrmSGrp ~QG
227subgss 14938 . . . . . . . . . 10 SubGrp
2318, 22syl 16 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
2421, 23eqsstrd 3375 . . . . . . . 8 NrmSGrp ~QG
25 dfss1 3538 . . . . . . . 8 ~QG ~QG ~QG
2624, 25sylib 189 . . . . . . 7 NrmSGrp ~QG ~QG
277, 19eqger 14983 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp ~QG
2818, 27syl 16 . . . . . . . . . . . 12 NrmSGrp ~QG
2928, 9erth 6942 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp ~QG ~QG ~QG
3029adantr 452 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp ~QG ~QG ~QG
314adantr 452 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp ~QG
3231eqeq1d 2444 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp ~QG ~QG ~QG
3330, 32bitrd 245 . . . . . . . . 9 NrmSGrp ~QG ~QG
34 vex 2952 . . . . . . . . . 10
35 fvex 5735 . . . . . . . . . 10
3634, 35elec 6937 . . . . . . . . 9 ~QG ~QG
37 fvex 5735 . . . . . . . . . . 11
3837elsnc2 3836 . . . . . . . . . 10 ~QG ~QG
39 eqcom 2438 . . . . . . . . . 10 ~QG ~QG
4038, 39bitri 241 . . . . . . . . 9 ~QG ~QG
4133, 36, 403bitr4g 280 . . . . . . . 8 NrmSGrp ~QG ~QG
4241rabbi2dva 3542 . . . . . . 7 NrmSGrp ~QG ~QG
4326, 42, 213eqtr3d 2476 . . . . . 6 NrmSGrp ~QG
4416, 43syl5eq 2480 . . . . 5 NrmSGrp ~QG
45 simp3 959 . . . . 5 NrmSGrp
4644, 45eqeltrd 2510 . . . 4 NrmSGrp ~QG
47 divstgphaus.j . . . . . . 7
4847, 7tgptopon 18105 . . . . . 6 TopOn
49483ad2ant1 978 . . . . 5 NrmSGrp TopOn
501a1i 11 . . . . . 6 NrmSGrp s ~QG
51 eqidd 2437 . . . . . 6 NrmSGrp
5210a1i 11 . . . . . 6 NrmSGrp ~QG
53 simp1 957 . . . . . 6 NrmSGrp
5450, 51, 15, 52, 53divslem 13761 . . . . 5 NrmSGrp ~QG ~QG
55 qtopcld 17738 . . . . 5 TopOn ~QG ~QG qTop ~QG ~QG ~QG
5649, 54, 55syl2anc 643 . . . 4 NrmSGrp qTop ~QG ~QG ~QG
5714, 46, 56mpbir2and 889 . . 3 NrmSGrp qTop ~QG
5850, 51, 15, 52, 53divsval 13760 . . . . 5 NrmSGrp ~QG s
59 divstgphaus.k . . . . 5
6058, 51, 54, 53, 47, 59imastopn 17745 . . . 4 NrmSGrp qTop ~QG
6160fveq2d 5725 . . 3 NrmSGrp qTop ~QG
6257, 61eleqtrrd 2513 . 2 NrmSGrp
631divstgp 18144 . . . 4 NrmSGrp
64633adant3 977 . . 3 NrmSGrp
65 eqid 2436 . . . 4
6665, 59tgphaus 18139 . . 3
6764, 66syl 16 . 2 NrmSGrp
6862, 67mpbird 224 1 NrmSGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  crab 2702  cvv 2949   cin 3312   wss 3313  csn 3807   class class class wbr 4205   cmpt 4259  ccnv 4870  cima 4874  wfo 5445  cfv 5447  (class class class)co 6074   wer 6895  cec 6896  cqs 6897  cbs 13462  ctopn 13642  c0g 13716   qTop cqtop 13722   s cqus 13724  cgrp 14678  SubGrpcsubg 14931  NrmSGrpcnsg 14932   ~QG cqg 14933  TopOnctopon 16952  ccld 17073  cha 17365  ctgp 18094 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-tpos 6472  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-ec 6900  df-qs 6904  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-sup 7439  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-10 10059  df-n0 10215  df-z 10276  df-dec 10376  df-uz 10482  df-fz 11037  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-tset 13541  df-ple 13542  df-ds 13544  df-rest 13643  df-topn 13644  df-topgen 13660  df-0g 13720  df-qtop 13726  df-imas 13727  df-divs 13728  df-mnd 14683  df-plusf 14684  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-subg 14934  df-nsg 14935  df-eqg 14936  df-oppg 15135  df-top 16956  df-bases 16958  df-topon 16959  df-topsp 16960  df-cld 17076  df-cn 17284  df-cnp 17285  df-t1 17371  df-haus 17372  df-tx 17587  df-hmeo 17780  df-tmd 18095  df-tgp 18096
 Copyright terms: Public domain W3C validator