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Theorem divstgplem 18150
Description: Lemma for divstgp 18151. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
divstgp.h  |-  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y
) )
divstgpopn.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
divstgpopn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
divstgpopn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  H )
divstgpopn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )
divstgplem.m  |-  .-  =  ( z  e.  X ,  w  e.  X  |->  [ ( z (
-g `  G )
w ) ] ( G ~QG  Y ) )
Assertion
Ref Expression
divstgplem  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  H  e.  TopGrp )
Distinct variable groups:    x, w, z, G    w, J, x, z    w, F, z   
w, X, x, z   
w, H, x, z   
w, K, x, z   
w, Y, x, z
Allowed substitution hints:    F( x)    .- ( x, z, w)

Proof of Theorem divstgplem
Dummy variables  t 
b  a  c  d  p  q  r  s  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divstgp.h . . . 4  |-  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y
) )
21divsgrp 14995 . . 3  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  H  e.  Grp )
32adantl 453 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  H  e.  Grp )
41a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y ) ) )
5 divstgpopn.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  X  =  ( Base `  G )
)
7 divstgpopn.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )
8 ovex 6106 . . . . . . . 8  |-  ( G ~QG  Y )  e.  _V
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( G ~QG  Y
)  e.  _V )
10 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  G  e.  TopGrp )
114, 6, 7, 9, 10divsval 13767 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  H  =  ( F  "s  G ) )
124, 6, 7, 9, 10divslem 13768 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
13 divstgpopn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
14 divstgpopn.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen `  H )
1511, 6, 12, 10, 13, 14imastopn 17752 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  K  =  ( J qTop  F )
)
1613, 5tgptopon 18112 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1716adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
18 qtoptopon 17736 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  ->  ( J qTop  F
)  e.  (TopOn `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) ) )
1917, 12, 18syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) ) )
2015, 19eqeltrd 2510 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  K  e.  (TopOn `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) ) )
214, 6, 9, 10divsbas 13770 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  =  ( Base `  H
) )
2221fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  (TopOn `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  =  (TopOn `  ( Base `  H
) ) )
2320, 22eleqtrd 2512 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H
) ) )
24 eqid 2436 . . . 4  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
2524, 14istps 17001 . . 3  |-  ( H  e.  TopSp 
<->  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H )
) )
2623, 25sylibr 204 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  H  e.  TopSp
)
27 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( -g `  H )  =  (
-g `  H )
2824, 27grpsubf 14868 . . . 4  |-  ( H  e.  Grp  ->  ( -g `  H ) : ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) --> (
Base `  H )
)
293, 28syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( -g `  H ) : ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) --> (
Base `  H )
)
30 cnvimass 5224 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( -g `  H
) " u ) 
C_  dom  ( -g `  H )
31 fdm 5595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-g `  H ) : ( ( Base `  H )  X.  ( Base `  H ) ) --> ( Base `  H
)  ->  dom  ( -g `  H )  =  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) )
3229, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  dom  ( -g `  H )  =  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) )
3332adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  dom  ( -g `  H )  =  ( ( Base `  H )  X.  ( Base `  H ) ) )
3430, 33syl5sseq 3396 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( `' ( -g `  H
) " u ) 
C_  ( ( Base `  H )  X.  ( Base `  H ) ) )
35 relxp 4983 . . . . . . . 8  |-  Rel  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) )
36 relss 4963 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( -g `  H
) " u ) 
C_  ( ( Base `  H )  X.  ( Base `  H ) )  ->  ( Rel  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) )  ->  Rel  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
3734, 35, 36ee10 1385 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  Rel  ( `' ( -g `  H
) " u ) )
3834sseld 3347 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  ->  <. x ,  y >.  e.  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) ) ) )
39 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
4039elqs 6957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  <->  E. a  e.  X  x  =  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
4121adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  =  ( Base `  H ) )
4241eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  (
x  e.  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  <->  x  e.  ( Base `  H ) ) )
4340, 42syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( E. a  e.  X  x  =  [ a ] ( G ~QG  Y )  <-> 
x  e.  ( Base `  H ) ) )
44 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
4544elqs 6957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  <->  E. b  e.  X  y  =  [ b ] ( G ~QG  Y ) )
4641eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  (
y  e.  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  <->  y  e.  (
Base `  H )
) )
4745, 46syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( E. b  e.  X  y  =  [ b ] ( G ~QG  Y )  <-> 
y  e.  ( Base `  H ) ) )
4843, 47anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  (
( E. a  e.  X  x  =  [
a ] ( G ~QG  Y )  /\  E. b  e.  X  y  =  [ b ] ( G ~QG  Y ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  y  e.  ( Base `  H )
) ) )
49 reeanv 2875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a  e.  X  E. b  e.  X  (
x  =  [ a ] ( G ~QG  Y )  /\  y  =  [
b ] ( G ~QG  Y ) )  <->  ( E. a  e.  X  x  =  [ a ] ( G ~QG  Y )  /\  E. b  e.  X  y  =  [ b ] ( G ~QG  Y ) ) )
50 opelxp 4908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  y  e.  ( Base `  H )
) )
5148, 49, 503bitr4g 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( E. a  e.  X  E. b  e.  X  ( x  =  [
a ] ( G ~QG  Y )  /\  y  =  [ b ] ( G ~QG  Y ) )  <->  <. x ,  y >.  e.  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) ) ) )
523ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  H  e.  Grp )
5352, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( -g `  H ) : ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) --> (
Base `  H )
)
54 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-g `  H ) : ( ( Base `  H )  X.  ( Base `  H ) ) --> ( Base `  H
)  ->  ( -g `  H )  Fn  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) ) )
55 elpreima 5850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-g `  H )  Fn  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) )  -> 
( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u )  <-> 
( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) )  /\  (
( -g `  H ) `
 <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >. )  e.  u
) ) )
5653, 54, 553syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u )  <-> 
( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) )  /\  (
( -g `  H ) `
 <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >. )  e.  u
) ) )
57 df-ov 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [ a ] ( G ~QG  Y ) ( -g `  H
) [ b ] ( G ~QG  Y ) )  =  ( ( -g `  H
) `  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y ) >. )
58 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)
59 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  a  e.  X )
60 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  b  e.  X )
61 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
621, 5, 61, 27divssub 15000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( [
a ] ( G ~QG  Y ) ( -g `  H
) [ b ] ( G ~QG  Y ) )  =  [ ( a (
-g `  G )
b ) ] ( G ~QG  Y ) )
6358, 59, 60, 62syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( [ a ] ( G ~QG  Y ) ( -g `  H ) [ b ] ( G ~QG  Y ) )  =  [ ( a ( -g `  G
) b ) ] ( G ~QG  Y ) )
6457, 63syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( -g `  H ) `
 <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >. )  =  [
( a ( -g `  G ) b ) ] ( G ~QG  Y ) )
6564eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( ( -g `  H
) `  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y ) >. )  e.  u  <->  [ ( a (
-g `  G )
b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  u
) )
66 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)
67 divstgplem.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  .-  =  ( z  e.  X ,  w  e.  X  |->  [ ( z (
-g `  G )
w ) ] ( G ~QG  Y ) )
68 tgpgrp 18108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
6968adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  G  e.  Grp )
705, 61grpsubf 14868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( -g `  G ) : ( X  X.  X
) --> X )
71 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
-g `  G ) : ( X  X.  X ) --> X  -> 
( -g `  G )  Fn  ( X  X.  X ) )
7269, 70, 713syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( -g `  G )  Fn  ( X  X.  X ) )
73 fnov 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
-g `  G )  Fn  ( X  X.  X
)  <->  ( -g `  G
)  =  ( z  e.  X ,  w  e.  X  |->  ( z ( -g `  G
) w ) ) )
7472, 73sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( -g `  G )  =  ( z  e.  X ,  w  e.  X  |->  ( z ( -g `  G
) w ) ) )
7513, 61tgpsubcn 18120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( -g `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
7675adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( -g `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
7774, 76eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( z  e.  X ,  w  e.  X  |->  ( z (
-g `  G )
w ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
78 ecexg 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( G ~QG  Y )  e.  _V  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  e.  _V )
798, 78ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  [ x ] ( G ~QG  Y )  e.  _V
8079, 7fnmpti 5573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F  Fn  X
81 qtopid 17737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  Fn  X )  ->  F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F ) ) )
8217, 80, 81sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F ) ) )
8315oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  ( J qTop 
F ) ) )
8482, 83eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
857, 84syl5eqelr 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
86 eceq1 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( z (
-g `  G )
w )  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ ( z ( -g `  G
) w ) ] ( G ~QG  Y ) )
8717, 17, 77, 17, 85, 86cnmpt21 17703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( z  e.  X ,  w  e.  X  |->  [ ( z ( -g `  G
) w ) ] ( G ~QG  Y ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )
8867, 87syl5eqel 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  .-  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
8988ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )
90 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  u  e.  K )
91 cnima 17329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 
.-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K )  /\  u  e.  K )  ->  ( `'  .-  " u
)  e.  ( J 
tX  J ) )
9289, 90, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( `'  .-  " u )  e.  ( J  tX  J ) )
9317ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
94 eltx 17600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( ( `'  .-  " u )  e.  ( J  tX  J )  <->  A. t  e.  ( `'  .-  " u
) E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( t  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )
9593, 93, 94syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( `'  .-  " u
)  e.  ( J 
tX  J )  <->  A. t  e.  ( `'  .-  " u
) E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( t  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )
9692, 95mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  A. t  e.  ( `'  .-  " u
) E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( t  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u ) ) )
97 ecexg 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G ~QG  Y )  e.  _V  ->  [ ( z (
-g `  G )
w ) ] ( G ~QG  Y )  e.  _V )
988, 97ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  [ ( z ( -g `  G
) w ) ] ( G ~QG  Y )  e.  _V
9967, 98fnmpt2i 6420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  .-  Fn  ( X  X.  X
)
100 elpreima 5850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (  .-  Fn  ( X  X.  X
)  ->  ( <. a ,  b >.  e.  ( `'  .-  " u )  <-> 
( <. a ,  b
>.  e.  ( X  X.  X )  /\  (  .-  `  <. a ,  b
>. )  e.  u
) ) )
10199, 100ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  ( `'  .-  " u
)  <->  ( <. a ,  b >.  e.  ( X  X.  X )  /\  (  .-  `  <. a ,  b >. )  e.  u ) )
102 opelxp 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  ( X  X.  X
)  <->  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )
103102anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
<. a ,  b >.  e.  ( X  X.  X
)  /\  (  .-  ` 
<. a ,  b >.
)  e.  u )  <-> 
( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  (  .-  `  <. a ,  b
>. )  e.  u
) )
104 df-ov 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a 
.-  b )  =  (  .-  `  <. a ,  b >. )
105 oveq12 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  =  a  /\  w  =  b )  ->  ( z ( -g `  G ) w )  =  ( a (
-g `  G )
b ) )
106 eceq1 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z ( -g `  G
) w )  =  ( a ( -g `  G ) b )  ->  [ ( z ( -g `  G
) w ) ] ( G ~QG  Y )  =  [
( a ( -g `  G ) b ) ] ( G ~QG  Y ) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  =  a  /\  w  =  b )  ->  [ ( z (
-g `  G )
w ) ] ( G ~QG  Y )  =  [
( a ( -g `  G ) b ) ] ( G ~QG  Y ) )
108 ecexg 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G ~QG  Y )  e.  _V  ->  [ ( a (
-g `  G )
b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  _V )
1098, 108ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  [ ( a ( -g `  G
) b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  _V
110107, 67, 109ovmpt2a 6204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( a  .-  b
)  =  [ ( a ( -g `  G
) b ) ] ( G ~QG  Y ) )
111104, 110syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  (  .-  `  <. a ,  b >. )  =  [ ( a (
-g `  G )
b ) ] ( G ~QG  Y ) )
112111eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( (  .-  `  <. a ,  b >. )  e.  u  <->  [ ( a (
-g `  G )
b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  u
) )
113112pm5.32i 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X
)  /\  (  .-  ` 
<. a ,  b >.
)  e.  u )  <-> 
( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  [
( a ( -g `  G ) b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  u ) )
114101, 103, 1133bitri 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  ( `'  .-  " u
)  <->  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  [
( a ( -g `  G ) b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  u ) )
115 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( t  =  <. a ,  b
>.  ->  ( t  e.  ( c  X.  d
)  <->  <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d ) ) )
116 opelxp 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  ( c  X.  d
)  <->  ( a  e.  c  /\  b  e.  d ) )
117115, 116syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  =  <. a ,  b
>.  ->  ( t  e.  ( c  X.  d
)  <->  ( a  e.  c  /\  b  e.  d ) ) )
118117anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( t  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) )  <->  ( (
a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d
)  C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )
1191182rexbidv 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  <. a ,  b
>.  ->  ( E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( t  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u ) )  <->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )
120119rspccv 3049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. t  e.  ( `'  .-  " u ) E. c  e.  J  E. d  e.  J  (
t  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d
)  C_  ( `'  .-  " u ) )  ->  ( <. a ,  b >.  e.  ( `'  .-  " u )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )
121114, 120syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. t  e.  ( `'  .-  " u ) E. c  e.  J  E. d  e.  J  (
t  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d
)  C_  ( `'  .-  " u ) )  ->  ( ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  [ ( a (
-g `  G )
b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  u
)  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( (
a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d
)  C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )
12296, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  [
( a ( -g `  G ) b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  u )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )
12366, 122mpand 657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( [ ( a (
-g `  G )
b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  u  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )
124 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  G  e.  TopGrp )
12558adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )
126 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  c  e.  J
)
1271, 5, 13, 14, 7divstgpopn 18149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  c  e.  J
)  ->  ( F " c )  e.  K
)
128124, 125, 126, 127syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( F "
c )  e.  K
)
129 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  d  e.  J
)
1301, 5, 13, 14, 7divstgpopn 18149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  d  e.  J
)  ->  ( F " d )  e.  K
)
131124, 125, 129, 130syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( F "
d )  e.  K
)
13259adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  a  e.  X
)
133 eceq1 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  a  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
134133, 7, 79fvmpt3i 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  e.  X  ->  ( F `  a )  =  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
135132, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( F `  a )  =  [
a ] ( G ~QG  Y ) )
136124, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
137 toponss 16994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  c  e.  J )  ->  c  C_  X )
138136, 126, 137syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  c  C_  X
)
139 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( a  e.  c  /\  b  e.  d ) )
140139simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  a  e.  c )
141 fnfvima 5976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  Fn  X  /\  c  C_  X  /\  a  e.  c )  ->  ( F `  a )  e.  ( F " c
) )
14280, 141mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( c  C_  X  /\  a  e.  c )  ->  ( F `  a
)  e.  ( F
" c ) )
143138, 140, 142syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( F `  a )  e.  ( F " c ) )
144135, 143eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  [ a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " c ) )
14560adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  b  e.  X
)
146 eceq1 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  b  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ b ] ( G ~QG  Y ) )
147146, 7, 79fvmpt3i 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( b  e.  X  ->  ( F `  b )  =  [ b ] ( G ~QG  Y ) )
148145, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( F `  b )  =  [
b ] ( G ~QG  Y ) )
149 toponss 16994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  d  e.  J )  ->  d  C_  X )
150136, 129, 149syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  d  C_  X
)
151139simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  b  e.  d )
152 fnfvima 5976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  Fn  X  /\  d  C_  X  /\  b  e.  d )  ->  ( F `  b )  e.  ( F " d
) )
15380, 152mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( d  C_  X  /\  b  e.  d )  ->  ( F `  b
)  e.  ( F
" d ) )
154150, 151, 153syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( F `  b )  e.  ( F " d ) )
155148, 154eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  [ b ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " d ) )
156 opelxpi 4910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( [ a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " c )  /\  [ b ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " d ) )  ->  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( ( F " c
)  X.  ( F
" d ) ) )
157144, 155, 156syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( F " c
)  X.  ( F
" d ) ) )
158138sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  p  e.  c )  ->  p  e.  X )
159150sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  q  e.  d )  ->  q  e.  X )
160158, 159anim12dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
( p  e.  X  /\  q  e.  X
) )
161 eceq1 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  p  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ p ]
( G ~QG  Y ) )
162161, 7, 79fvmpt3i 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  e.  X  ->  ( F `  p )  =  [ p ] ( G ~QG  Y ) )
163 eceq1 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  q  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ q ] ( G ~QG  Y ) )
164163, 7, 79fvmpt3i 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( q  e.  X  ->  ( F `  q )  =  [ q ] ( G ~QG  Y ) )
165 opeq12 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F `  p
)  =  [ p ] ( G ~QG  Y )  /\  ( F `  q )  =  [
q ] ( G ~QG  Y ) )  ->  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >.  =  <. [ p ] ( G ~QG  Y ) ,  [ q ] ( G ~QG  Y )
>. )
166162, 164, 165syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  X  /\  q  e.  X )  -> 
<. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  =  <. [ p ]
( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >. )
167160, 166syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  ->  <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  =  <. [ p ]
( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >. )
168125adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  ->  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )
1691, 5, 24divseccl 14996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  p  e.  X )  ->  [ p ] ( G ~QG  Y )  e.  ( Base `  H
) )
1701, 5, 24divseccl 14996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  q  e.  X )  ->  [ q ] ( G ~QG  Y )  e.  ( Base `  H
) )
171169, 170anim12dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  -> 
( [ p ]
( G ~QG  Y )  e.  (
Base `  H )  /\  [ q ] ( G ~QG  Y )  e.  (
Base `  H )
) )
172168, 160, 171syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
( [ p ]
( G ~QG  Y )  e.  (
Base `  H )  /\  [ q ] ( G ~QG  Y )  e.  (
Base `  H )
) )
173 opelxpi 4910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( [ p ] ( G ~QG  Y )  e.  (
Base `  H )  /\  [ q ] ( G ~QG  Y )  e.  (
Base `  H )
)  ->  <. [ p ] ( G ~QG  Y ) ,  [ q ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) )
174172, 173syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  ->  <. [ p ] ( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) ) )
1751, 5, 61, 27divssub 15000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  p  e.  X  /\  q  e.  X
)  ->  ( [
p ] ( G ~QG  Y ) ( -g `  H
) [ q ] ( G ~QG  Y ) )  =  [ ( p (
-g `  G )
q ) ] ( G ~QG  Y ) )
1761753expb 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  -> 
( [ p ]
( G ~QG  Y ) ( -g `  H ) [ q ] ( G ~QG  Y ) )  =  [ ( p ( -g `  G
) q ) ] ( G ~QG  Y ) )
177168, 160, 176syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
( [ p ]
( G ~QG  Y ) ( -g `  H ) [ q ] ( G ~QG  Y ) )  =  [ ( p ( -g `  G
) q ) ] ( G ~QG  Y ) )
178 oveq12 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( z  =  p  /\  w  =  q )  ->  ( z ( -g `  G ) w )  =  ( p (
-g `  G )
q ) )
179 eceq1 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( z ( -g `  G
) w )  =  ( p ( -g `  G ) q )  ->  [ ( z ( -g `  G
) w ) ] ( G ~QG  Y )  =  [
( p ( -g `  G ) q ) ] ( G ~QG  Y ) )
180178, 179syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  =  p  /\  w  =  q )  ->  [ ( z (
-g `  G )
w ) ] ( G ~QG  Y )  =  [
( p ( -g `  G ) q ) ] ( G ~QG  Y ) )
181 ecexg 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( G ~QG  Y )  e.  _V  ->  [ ( p (
-g `  G )
q ) ] ( G ~QG  Y )  e.  _V )
1828, 181ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  [ ( p ( -g `  G
) q ) ] ( G ~QG  Y )  e.  _V
183180, 67, 182ovmpt2a 6204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( p  e.  X  /\  q  e.  X )  ->  ( p  .-  q
)  =  [ ( p ( -g `  G
) q ) ] ( G ~QG  Y ) )
184160, 183syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
( p  .-  q
)  =  [ ( p ( -g `  G
) q ) ] ( G ~QG  Y ) )
185177, 184eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
( [ p ]
( G ~QG  Y ) ( -g `  H ) [ q ] ( G ~QG  Y ) )  =  ( p 
.-  q ) )
186 df-ov 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( [ p ] ( G ~QG  Y ) ( -g `  H
) [ q ] ( G ~QG  Y ) )  =  ( ( -g `  H
) `  <. [ p ] ( G ~QG  Y ) ,  [ q ] ( G ~QG  Y ) >. )
187 df-ov 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( p 
.-  q )  =  (  .-  `  <. p ,  q >. )
188185, 186, 1873eqtr3g 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
( ( -g `  H
) `  <. [ p ] ( G ~QG  Y ) ,  [ q ] ( G ~QG  Y ) >. )  =  (  .-  `  <. p ,  q >. )
)
189 opelxpi 4910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( p  e.  c  /\  q  e.  d )  -> 
<. p ,  q >.  e.  ( c  X.  d
) )
190 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u ) )
191190sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  <. p ,  q >.  e.  ( c  X.  d ) )  ->  <. p ,  q >.  e.  ( `'  .-  " u ) )
192189, 191sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  ->  <. p ,  q >.  e.  ( `'  .-  " u
) )
193 elpreima 5850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  (  .-  Fn  ( X  X.  X
)  ->  ( <. p ,  q >.  e.  ( `'  .-  " u )  <-> 
( <. p ,  q
>.  e.  ( X  X.  X )  /\  (  .-  `  <. p ,  q
>. )  e.  u
) ) )
19499, 193ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( <.
p ,  q >.  e.  ( `'  .-  " u
)  <->  ( <. p ,  q >.  e.  ( X  X.  X )  /\  (  .-  `  <. p ,  q >. )  e.  u ) )
195194simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( <.
p ,  q >.  e.  ( `'  .-  " u
)  ->  (  .-  ` 
<. p ,  q >.
)  e.  u )
196192, 195syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
(  .-  `  <. p ,  q >. )  e.  u )
197188, 196eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
( ( -g `  H
) `  <. [ p ] ( G ~QG  Y ) ,  [ q ] ( G ~QG  Y ) >. )  e.  u )
19853, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( -g `  H )  Fn  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) )
199198ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
( -g `  H )  Fn  ( ( Base `  H )  X.  ( Base `  H ) ) )
200 elpreima 5850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
-g `  H )  Fn  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) )  -> 
( <. [ p ]
( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u )  <-> 
( <. [ p ]
( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) )  /\  (
( -g `  H ) `
 <. [ p ]
( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >. )  e.  u
) ) )
201199, 200syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  -> 
( <. [ p ]
( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u )  <-> 
( <. [ p ]
( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) )  /\  (
( -g `  H ) `
 <. [ p ]
( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >. )  e.  u
) ) )
202174, 197, 201mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  ->  <. [ p ] ( G ~QG  Y ) ,  [
q ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u ) )
203167, 202eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  /\  u  e.  K )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( (
c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) ) ) )  /\  ( p  e.  c  /\  q  e.  d ) )  ->  <. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) )
204203ralrimivva 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  A. p  e.  c 
A. q  e.  d 
<. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) )
205 opeq1 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  ( F `  p )  ->  <. z ,  w >.  =  <. ( F `  p ) ,  w >. )
206205eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  ( F `  p )  ->  ( <. z ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  <->  <. ( F `  p ) ,  w >.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u ) ) )
207206ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =  ( F `  p )  ->  ( A. w  e.  ( F " d ) <.
z ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  <->  A. w  e.  ( F " d )
<. ( F `  p
) ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) ) )
208207ralima 5978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F  Fn  X  /\  c  C_  X )  -> 
( A. z  e.  ( F " c
) A. w  e.  ( F " d
) <. z ,  w >.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u )  <->  A. p  e.  c  A. w  e.  ( F " d
) <. ( F `  p ) ,  w >.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u ) ) )
20980, 208mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( c 
C_  X  ->  ( A. z  e.  ( F " c ) A. w  e.  ( F " d ) <. z ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u )  <->  A. p  e.  c  A. w  e.  ( F " d ) <.
( F `  p
) ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) ) )
210 opeq2 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  ( F `  q )  ->  <. ( F `  p ) ,  w >.  =  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. )
211210eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  ( F `  q )  ->  ( <. ( F `  p
) ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  <->  <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u ) ) )
212211ralima 5978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F  Fn  X  /\  d  C_  X )  -> 
( A. w  e.  ( F " d
) <. ( F `  p ) ,  w >.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u )  <->  A. q  e.  d  <. ( F `
 p ) ,  ( F `  q
) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
21380, 212mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( d 
C_  X  ->  ( A. w  e.  ( F " d ) <.
( F `  p
) ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  <->  A. q  e.  d 
<. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) ) )
214213ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( d 
C_  X  ->  ( A. p  e.  c  A. w  e.  ( F " d ) <.
( F `  p
) ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  <->  A. p  e.  c 
A. q  e.  d 
<. ( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) ) )
215209, 214sylan9bb 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( c  C_  X  /\  d  C_  X )  -> 
( A. z  e.  ( F " c
) A. w  e.  ( F " d
) <. z ,  w >.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u )  <->  A. p  e.  c  A. q  e.  d  <. ( F `
 p ) ,  ( F `  q
) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
216138, 150, 215syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( F " c
) A. w  e.  ( F " d
) <. z ,  w >.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u )  <->  A. p  e.  c  A. q  e.  d  <. ( F `
 p ) ,  ( F `  q
) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
217204, 216mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  A. z  e.  ( F " c ) A. w  e.  ( F " d )
<. z ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) )
218 dfss3 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F " c
)  X.  ( F
" d ) ) 
C_  ( `' (
-g `  H ) " u )  <->  A. y  e.  ( ( F "
c )  X.  ( F " d ) ) y  e.  ( `' ( -g `  H
) " u ) )
219 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  ( y  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  <->  <. z ,  w >.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u ) ) )
220219ralxp 5016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. y  e.  ( ( F " c )  X.  ( F " d
) ) y  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  <->  A. z  e.  ( F " c ) A. w  e.  ( F " d )
<. z ,  w >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) )
221218, 220bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F " c
)  X.  ( F
" d ) ) 
C_  ( `' (
-g `  H ) " u )  <->  A. z  e.  ( F " c
) A. w  e.  ( F " d
) <. z ,  w >.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u ) )
222217, 221sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  ( ( F
" c )  X.  ( F " d
) )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) )
223 xpeq1 4892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( r  =  ( F "
c )  ->  (
r  X.  s )  =  ( ( F
" c )  X.  s ) )
224223eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  =  ( F "
c )  ->  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  <->  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( F " c
)  X.  s ) ) )
225223sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  =  ( F "
c )  ->  (
( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u )  <->  ( ( F " c )  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
226224, 225anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  =  ( F "
c )  ->  (
( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) )  <->  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( ( F " c
)  X.  s )  /\  ( ( F
" c )  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
227 xpeq2 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  =  ( F "
d )  ->  (
( F " c
)  X.  s )  =  ( ( F
" c )  X.  ( F " d
) ) )
228227eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  ( F "
d )  ->  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( F " c
)  X.  s )  <->  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( F " c
)  X.  ( F
" d ) ) ) )
229227sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  ( F "
d )  ->  (
( ( F "
c )  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u )  <->  ( ( F " c )  X.  ( F " d
) )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
230228, 229anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  ( F "
d )  ->  (
( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( F " c
)  X.  s )  /\  ( ( F
" c )  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) )  <->  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( ( F " c
)  X.  ( F
" d ) )  /\  ( ( F
" c )  X.  ( F " d
) )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
231226, 230rspc2ev 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F " c
)  e.  K  /\  ( F " d )  e.  K  /\  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( F " c
)  X.  ( F
" d ) )  /\  ( ( F
" c )  X.  ( F " d
) )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )  ->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y )
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  ( `' (
-g `  H ) " u ) ) )
232128, 131, 157, 222, 231syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  /\  (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( `'  .-  " u
) ) ) )  ->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
233232expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K
)  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( c  e.  J  /\  d  e.  J
) )  ->  (
( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) )  ->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
234233rexlimdvva 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( `'  .-  " u ) )  ->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
235123, 234syld 42 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( [ ( a (
-g `  G )
b ) ] ( G ~QG  Y )  e.  u  ->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
23665, 235sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( ( -g `  H
) `  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y ) >. )  e.  u  ->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y )
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  ( `' (
-g `  H ) " u ) ) ) )
237236adantld 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
( Base `  H )  X.  ( Base `  H
) )  /\  (
( -g `  H ) `
 <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >. )  e.  u
)  ->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y )
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  ( `' (
-g `  H ) " u ) ) ) )
23856, 237sylbid 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u )  ->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
239 opeq12 3986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  [ a ] ( G ~QG  Y )  /\  y  =  [
b ] ( G ~QG  Y ) )  ->  <. x ,  y >.  =  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y )
>. )
240239eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  [ a ] ( G ~QG  Y )  /\  y  =  [
b ] ( G ~QG  Y ) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  <->  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
241239eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  [ a ] ( G ~QG  Y )  /\  y  =  [
b ] ( G ~QG  Y ) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u ) ) }  <->  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) } ) )
242 opex 4427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  _V
243 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  ->  ( w  e.  ( r  X.  s )  <->  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  ( r  X.  s ) ) )
244243anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  ->  ( ( w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u ) )  <-> 
( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
2452442rexbidv 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  ->  ( E. r  e.  K  E. s  e.  K  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u ) )  <->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
246242, 245elab 3082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) }  <->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y )
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  ( `' (
-g `  H ) " u ) ) )
247241, 246syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  [ a ] ( G ~QG  Y )  /\  y  =  [
b ] ( G ~QG  Y ) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u ) ) }  <->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
248240, 247imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  [ a ] ( G ~QG  Y )  /\  y  =  [
b ] ( G ~QG  Y ) )  ->  (
( <. x ,  y
>.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u )  ->  <. x ,  y >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u ) ) } )  <->  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [ b ] ( G ~QG  Y )
>.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u )  ->  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( <. [ a ] ( G ~QG  Y ) ,  [
b ] ( G ~QG  Y ) >.  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) ) )
249238, 248syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  u  e.  K )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( x  =  [
a ] ( G ~QG  Y )  /\  y  =  [ b ] ( G ~QG  Y ) )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u )  ->  <. x ,  y >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u ) ) } ) ) )
250249rexlimdvva 2837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( E. a  e.  X  E. b  e.  X  ( x  =  [
a ] ( G ~QG  Y )  /\  y  =  [ b ] ( G ~QG  Y ) )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u )  ->  <. x ,  y >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u ) ) } ) ) )
25151, 250sylbird 227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( `' (
-g `  H ) " u )  ->  <. x ,  y >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u ) ) } ) ) )
252251com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) )  ->  <. x ,  y >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  ( `' ( -g `  H )
" u ) ) } ) ) )
25338, 252mpdd 38 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
)  ->  <. x ,  y >.  e.  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) } ) )
25437, 253relssdv 4968 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( `' ( -g `  H
) " u ) 
C_  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) } )
255 ssabral 3414 . . . . . 6  |-  ( ( `' ( -g `  H
) " u ) 
C_  { w  |  E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) }  <->  A. w  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
256254, 255sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  A. w  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) )
257 eltx 17600 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  ( Base `  H )
)  /\  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H
) ) )  -> 
( ( `' (
-g `  H ) " u )  e.  ( K  tX  K
)  <->  A. w  e.  ( `' ( -g `  H
) " u ) E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
25823, 23, 257syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( ( `' ( -g `  H
) " u )  e.  ( K  tX  K )  <->  A. w  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
259258adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  (
( `' ( -g `  H ) " u
)  e.  ( K 
tX  K )  <->  A. w  e.  ( `' ( -g `  H ) " u
) E. r  e.  K  E. s  e.  K  ( w  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  ( `' ( -g `  H
) " u ) ) ) )
260256, 259mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  u  e.  K )  ->  ( `' ( -g `  H
) " u )  e.  ( K  tX  K ) )
261260ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  A. u  e.  K  ( `' ( -g `  H )
" u )  e.  ( K  tX  K
) )
262 txtopon 17623 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  ( Base `  H )
)  /\  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H
) ) )  -> 
( K  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) ) )
26323, 23, 262syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( K  tX  K )  e.  (TopOn `  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) ) )
264 iscn 17299 . . . 4  |-  ( ( ( K  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) )  /\  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H
) ) )  -> 
( ( -g `  H
)  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K )  <->  ( ( -g `  H ) : ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) --> (
Base `  H )  /\  A. u  e.  K  ( `' ( -g `  H
) " u )  e.  ( K  tX  K ) ) ) )
265263, 23, 264syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( ( -g `  H )  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)  <->  ( ( -g `  H ) : ( ( Base `  H
)  X.  ( Base `  H ) ) --> (
Base `  H )  /\  A. u  e.  K  ( `' ( -g `  H
) " u )  e.  ( K  tX  K ) ) ) )
26629, 261, 265mpbir2and 889 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( -g `  H )  e.  ( ( K  tX  K
)  Cn  K ) )
26714, 27istgp2 18121 . 2  |-  ( H  e.  TopGrp 
<->  ( H  e.  Grp  /\  H  e.  TopSp  /\  ( -g `  H )  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
) ) )
2683, 26, 266, 267syl3anbrc 1138 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  H  e.  TopGrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   <.cop 3817    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   "cima 4881   Rel wrel 4883    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -onto->wfo 5452   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   [cec 6903   /.cqs 6904   Basecbs 13469   TopOpenctopn 13649   qTop cqtop 13729    /.s cqus 13731   Grpcgrp 14685   -gcsg 14688  NrmSGrpcnsg 14939   ~QG cqg 14940  TopOnctopon 16959   TopSpctps 16961    Cn ccn 17288    tX ctx 17592   TopGrpctgp 18101
This theorem is referenced by:  divstgp  18151
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-0g 13727  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-divs 13735  df-mnd 14690  df-plusf 14691  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-oppg 15142  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-tmd 18102  df-tgp 18103
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