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Theorem divstgpopn 17818
Description: A quotient map in a topological group is an open map. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
divstgp.h  |-  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y
) )
divstgpopn.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
divstgpopn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
divstgpopn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  H )
divstgpopn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )
Assertion
Ref Expression
divstgpopn  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  e.  K
)
Distinct variable groups:    x, G    x, J    x, S    x, X    x, H    x, K    x, Y
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem divstgpopn
Dummy variables  a  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5041 . . . 4  |-  ( F
" S )  C_  ran  F
2 divstgp.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y
) )
32a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y ) ) )
4 divstgpopn.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
54a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  X  =  ( Base `  G )
)
6 divstgpopn.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )
7 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( G ~QG  Y )  e.  _V
87a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( G ~QG  Y
)  e.  _V )
9 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  G  e.  TopGrp )
103, 5, 6, 8, 9divslem 13461 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
11 forn 5470 . . . . 5  |-  ( F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG  Y ) )  ->  ran  F  =  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
1210, 11syl 15 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ran  F  =  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
131, 12syl5sseq 3239 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  C_  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
14 eceq1 6712 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
1514cbvmptv 4127 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )  =  ( y  e.  X  |->  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
166, 15eqtri 2316 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( y  e.  X  |->  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
1716mptpreima 5182 . . . . . . 7  |-  ( `' F " ( F
" S ) )  =  { y  e.  X  |  [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) }
1817rabeq2i 2798 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( `' F " ( F " S
) )  <->  ( y  e.  X  /\  [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) ) )
196funmpt2 5307 . . . . . . . . 9  |-  Fun  F
20 fvelima 5590 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  [
y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S ) )  ->  E. z  e.  S  ( F `  z )  =  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
2119, 20mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S )  ->  E. z  e.  S  ( F `  z )  =  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
22 divstgpopn.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2322, 4tgptopon 17781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
249, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
25 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  J )
26 toponss 16683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  J )  ->  S  C_  X )
2724, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  C_  X
)
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  ->  S  C_  X )
2928sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  X )
30 eceq1 6712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ z ] ( G ~QG  Y ) )
31 ecexg 6680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G ~QG  Y )  e.  _V  ->  [ z ] ( G ~QG  Y )  e.  _V )
327, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [ z ] ( G ~QG  Y )  e.  _V
3330, 6, 32fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  X  ->  ( F `  z )  =  [ z ] ( G ~QG  Y ) )
3429, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  ( F `  z )  =  [ z ] ( G ~QG  Y ) )
3534eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <->  [ z ] ( G ~QG  Y )  =  [
y ] ( G ~QG  Y ) ) )
36 eqcom 2298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ z ] ( G ~QG  Y )  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <->  [ y ] ( G ~QG  Y )  =  [
z ] ( G ~QG  Y ) )
3735, 36syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <->  [ y ] ( G ~QG  Y )  =  [
z ] ( G ~QG  Y ) ) )
38 nsgsubg 14665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
39383ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
4039ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G )
)
41 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G ~QG  Y )  =  ( G ~QG  Y )
424, 41eqger 14683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( G ~QG  Y
)  Er  X )
4340, 42syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  ( G ~QG  Y )  Er  X
)
44 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  X )
4543, 44erth 6720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( G ~QG  Y ) z  <->  [ y ] ( G ~QG  Y )  =  [
z ] ( G ~QG  Y ) ) )
469ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  G  e.  TopGrp )
474subgss 14638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
4840, 47syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  Y  C_  X )
49 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
50 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
514, 49, 50, 41eqgval 14682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  C_  X )  ->  (
y ( G ~QG  Y ) z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) ) )
5246, 48, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( G ~QG  Y ) z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) ) )
5337, 45, 523bitr2d 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <-> 
( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
54 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (oppg `  G
)  =  (oppg `  G
)
55 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( +g  `  (oppg
`  G ) )  =  ( +g  `  (oppg `  G
) )
5650, 54, 55oppgplus 14838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a )  =  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )
5756mpteq2i 4119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )  =  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
5846adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  G  e.  TopGrp )
5954oppgtgp 17797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  (oppg
`  G )  e. 
TopGrp )
6058, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (oppg `  G
)  e.  TopGrp )
6148sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X )
62 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )  =  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )
6354, 4oppgbas 14840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  =  ( Base `  (oppg `  G
) )
6454, 22oppgtopn 14842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  J  =  ( TopOpen `  (oppg
`  G ) )
6562, 63, 55, 64tgplacthmeo 17802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (oppg
`  G )  e. 
TopGrp  /\  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z )  e.  X
)  ->  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )  e.  ( J 
Homeo  J ) )
6660, 61, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
a  e.  X  |->  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) a ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
6757, 66syl5eqelr 2381 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
68 hmeocn 17467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J  Homeo  J )  ->  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
7025ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  S  e.  J )
71 cnima 17010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  S  e.  J )  ->  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  e.  J )
7269, 70, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  e.  J )
7344adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  y  e.  X )
74 tgpgrp 17777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
7558, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  G  e.  Grp )
76 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
774, 50, 76, 49grprinv 14545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
7875, 73, 77syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) )  =  ( 0g `  G ) )
7978oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  y )
) ( +g  `  G
) z )  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z ) )
804, 49grpinvcl 14543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )
8175, 73, 80syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )
8229adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  z  e.  X )
834, 50grpass 14512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
8475, 73, 81, 82, 83syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  y )
) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
854, 50, 76grplid 14528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
8675, 82, 85syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
) ( +g  `  G
) z )  =  z )
8779, 84, 863eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
y ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  =  z )
88 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  z  e.  S )
8987, 88eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
y ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S )
90 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  y  ->  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
9190eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  y  ->  (
( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  S  <->  ( y
( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  S ) )
92 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  =  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
9392mptpreima 5182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) " S )  =  { a  e.  X  |  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S }
9491, 93elrab2 2938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  <->  ( y  e.  X  /\  (
y ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S ) )
9573, 89, 94sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S ) )
96 ecexg 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G ~QG  Y )  e.  _V  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  e.  _V )
977, 96ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  [ x ] ( G ~QG  Y )  e.  _V
9897, 6fnmpti 5388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F  Fn  X
9928ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  S  C_  X )
100 fnfvima 5772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  X  /\  S  C_  X  /\  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S )  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( F " S ) )
1011003expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  Fn  X  /\  S  C_  X )  -> 
( ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  S  ->  ( F `  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  e.  ( F
" S ) ) )
10298, 99, 101sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  S  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( F " S ) ) )
10375adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
104 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  a  e.  X )
10561adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X )
1064, 50grpcl 14511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  X
)  ->  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  X )
107103, 104, 105, 106syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  X )
108 eceq1 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [
( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
109108, 6, 97fvmpt3i 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  X  ->  ( F `  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  =  [ ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
110107, 109syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  =  [ ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
11143ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  ( G ~QG  Y )  Er  X
)
1124, 50, 76, 49grplinv 14544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) a )  =  ( 0g `  G ) )
113103, 104, 112syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) a )  =  ( 0g `  G
) )
114113oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) a ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
1154, 49grpinvcl 14543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  a
)  e.  X )
116103, 104, 115syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( inv g `  G ) `  a
)  e.  X )
1174, 50grpass 14512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 a )  e.  X  /\  a  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  a )
( +g  `  G ) a ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
118103, 116, 104, 105, 117syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) a ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
1194, 50, 76grplid 14528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  X
)  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )
120103, 105, 119syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( 0g `  G
) ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )
121114, 118, 1203eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )
122 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )
123121, 122eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  Y )
12448ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  Y  C_  X )
1254, 49, 50, 41eqgval 14682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( a ( G ~QG  Y ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  <->  ( a  e.  X  /\  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  Y ) ) )
126103, 124, 125syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
a ( G ~QG  Y ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  <-> 
( a  e.  X  /\  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  X  /\  (
( ( inv g `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  Y ) ) )
127104, 107, 123, 126mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  a
( G ~QG  Y ) ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
128111, 127erthi 6722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  [ a ] ( G ~QG  Y )  =  [ ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
129110, 128eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  =  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
130129eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( F `  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( F " S )  <->  [ a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) ) )
131102, 130sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  S  ->  [ a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) ) )
132131ss2rabdv 3267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  { a  e.  X  |  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S }  C_  { a  e.  X  |  [
a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S ) } )
133 eceq1 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
134133cbvmptv 4127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )  =  ( a  e.  X  |->  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
1356, 134eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( a  e.  X  |->  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
136135mptpreima 5182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F " ( F
" S ) )  =  { a  e.  X  |  [ a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) }
137132, 93, 1363sstr4g 3232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) )
138 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  -> 
( y  e.  u  <->  y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S ) ) )
139 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  -> 
( u  C_  ( `' F " ( F
" S ) )  <-> 
( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) )
140138, 139anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  -> 
( ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) )  <->  ( y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  /\  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
141140rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  e.  J  /\  ( y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  /\  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
14272, 95, 137, 141syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
1431423ad2antr3 1122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
144143ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
)  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
14553, 144sylbid 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
146145rexlimdva 2680 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  ->  ( E. z  e.  S  ( F `  z )  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
14721, 146syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  ->  ( [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
148147expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  X  /\  [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S ) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
14918, 148syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( y  e.  ( `' F "
( F " S
) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
150149ralrimiv 2638 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  A. y  e.  ( `' F "
( F " S
) ) E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
151 topontop 16680 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
152 eltop2 16729 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( `' F "
( F " S
) )  e.  J  <->  A. y  e.  ( `' F " ( F
" S ) ) E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
15324, 151, 1523syl 18 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( `' F " ( F
" S ) )  e.  J  <->  A. y  e.  ( `' F "
( F " S
) ) E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
154150, 153mpbird 223 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( `' F " ( F " S ) )  e.  J )
155 elqtop3 17410 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  ->  ( ( F
" S )  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( ( F " S )  C_  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  /\  ( `' F " ( F
" S ) )  e.  J ) ) )
15624, 10, 155syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( F " S )  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( ( F " S )  C_  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  /\  ( `' F " ( F
" S ) )  e.  J ) ) )
15713, 154, 156mpbir2and 888 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  e.  ( J qTop  F ) )
1583, 5, 6, 8, 9divsval 13460 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  H  =  ( F  "s  G ) )
159 divstgpopn.k . . 3  |-  K  =  ( TopOpen `  H )
160158, 5, 10, 9, 22, 159imastopn 17427 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  K  =  ( J qTop  F )
)
161157, 160eleqtrrd 2373 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  e.  K
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   ran crn 4706   "cima 4708   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    Er wer 6673   [cec 6674   /.cqs 6675   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   TopOpenctopn 13342   0gc0g 13416   qTop cqtop 13422    /.s cqus 13424   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379  SubGrpcsubg 14631  NrmSGrpcnsg 14632   ~QG cqg 14633  oppgcoppg 14834   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    Homeo chmeo 17460   TopGrpctgp 17770
This theorem is referenced by:  divstgplem  17819
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-oppg 14835  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-tmd 17771  df-tgp 17772
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