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Theorem divstgpopn 17802
Description: A quotient map in a topological group is an open map. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
divstgp.h  |-  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y
) )
divstgpopn.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
divstgpopn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
divstgpopn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  H )
divstgpopn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )
Assertion
Ref Expression
divstgpopn  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  e.  K
)
Distinct variable groups:    x, G    x, J    x, S    x, X    x, H    x, K    x, Y
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem divstgpopn
Dummy variables  a  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5025 . . . 4  |-  ( F
" S )  C_  ran  F
2 divstgp.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y
) )
32a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y ) ) )
4 divstgpopn.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
54a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  X  =  ( Base `  G )
)
6 divstgpopn.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )
7 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( G ~QG  Y )  e.  _V
87a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( G ~QG  Y
)  e.  _V )
9 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  G  e.  TopGrp )
103, 5, 6, 8, 9divslem 13445 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
11 forn 5454 . . . . 5  |-  ( F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG  Y ) )  ->  ran  F  =  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
1210, 11syl 15 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ran  F  =  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
131, 12syl5sseq 3226 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  C_  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
14 eceq1 6696 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
1514cbvmptv 4111 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )  =  ( y  e.  X  |->  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
166, 15eqtri 2303 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( y  e.  X  |->  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
1716mptpreima 5166 . . . . . . 7  |-  ( `' F " ( F
" S ) )  =  { y  e.  X  |  [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) }
1817rabeq2i 2785 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( `' F " ( F " S
) )  <->  ( y  e.  X  /\  [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) ) )
196funmpt2 5291 . . . . . . . . 9  |-  Fun  F
20 fvelima 5574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  [
y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S ) )  ->  E. z  e.  S  ( F `  z )  =  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
2119, 20mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S )  ->  E. z  e.  S  ( F `  z )  =  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
22 divstgpopn.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2322, 4tgptopon 17765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
249, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
25 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  J )
26 toponss 16667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  J )  ->  S  C_  X )
2724, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  C_  X
)
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  ->  S  C_  X )
2928sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  X )
30 eceq1 6696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ z ] ( G ~QG  Y ) )
31 ecexg 6664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G ~QG  Y )  e.  _V  ->  [ z ] ( G ~QG  Y )  e.  _V )
327, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [ z ] ( G ~QG  Y )  e.  _V
3330, 6, 32fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  X  ->  ( F `  z )  =  [ z ] ( G ~QG  Y ) )
3429, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  ( F `  z )  =  [ z ] ( G ~QG  Y ) )
3534eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <->  [ z ] ( G ~QG  Y )  =  [
y ] ( G ~QG  Y ) ) )
36 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ z ] ( G ~QG  Y )  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <->  [ y ] ( G ~QG  Y )  =  [
z ] ( G ~QG  Y ) )
3735, 36syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <->  [ y ] ( G ~QG  Y )  =  [
z ] ( G ~QG  Y ) ) )
38 nsgsubg 14649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
39383ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
4039ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G )
)
41 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G ~QG  Y )  =  ( G ~QG  Y )
424, 41eqger 14667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( G ~QG  Y
)  Er  X )
4340, 42syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  ( G ~QG  Y )  Er  X
)
44 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  X )
4543, 44erth 6704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( G ~QG  Y ) z  <->  [ y ] ( G ~QG  Y )  =  [
z ] ( G ~QG  Y ) ) )
469ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  G  e.  TopGrp )
474subgss 14622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
4840, 47syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  Y  C_  X )
49 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
50 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
514, 49, 50, 41eqgval 14666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  C_  X )  ->  (
y ( G ~QG  Y ) z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) ) )
5246, 48, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( G ~QG  Y ) z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) ) )
5337, 45, 523bitr2d 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <-> 
( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
54 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (oppg `  G
)  =  (oppg `  G
)
55 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( +g  `  (oppg
`  G ) )  =  ( +g  `  (oppg `  G
) )
5650, 54, 55oppgplus 14822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a )  =  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )
5756mpteq2i 4103 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )  =  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
5846adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  G  e.  TopGrp )
5954oppgtgp 17781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  (oppg
`  G )  e. 
TopGrp )
6058, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (oppg `  G
)  e.  TopGrp )
6148sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X )
62 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )  =  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )
6354, 4oppgbas 14824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  =  ( Base `  (oppg `  G
) )
6454, 22oppgtopn 14826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  J  =  ( TopOpen `  (oppg
`  G ) )
6562, 63, 55, 64tgplacthmeo 17786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (oppg
`  G )  e. 
TopGrp  /\  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z )  e.  X
)  ->  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )  e.  ( J 
Homeo  J ) )
6660, 61, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
a  e.  X  |->  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) a ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
6757, 66syl5eqelr 2368 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
68 hmeocn 17451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J  Homeo  J )  ->  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
7025ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  S  e.  J )
71 cnima 16994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  S  e.  J )  ->  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  e.  J )
7269, 70, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  e.  J )
7344adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  y  e.  X )
74 tgpgrp 17761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
7558, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  G  e.  Grp )
76 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
774, 50, 76, 49grprinv 14529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
7875, 73, 77syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) )  =  ( 0g `  G ) )
7978oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  y )
) ( +g  `  G
) z )  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z ) )
804, 49grpinvcl 14527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )
8175, 73, 80syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )
8229adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  z  e.  X )
834, 50grpass 14496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
8475, 73, 81, 82, 83syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  y )
) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
854, 50, 76grplid 14512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
8675, 82, 85syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
) ( +g  `  G
) z )  =  z )
8779, 84, 863eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
y ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  =  z )
88 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  z  e.  S )
8987, 88eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
y ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S )
90 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  y  ->  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
9190eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  y  ->  (
( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  S  <->  ( y
( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  S ) )
92 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  =  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
9392mptpreima 5166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) " S )  =  { a  e.  X  |  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S }
9491, 93elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  <->  ( y  e.  X  /\  (
y ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S ) )
9573, 89, 94sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S ) )
96 ecexg 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G ~QG  Y )  e.  _V  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  e.  _V )
977, 96ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  [ x ] ( G ~QG  Y )  e.  _V
9897, 6fnmpti 5372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F  Fn  X
9928ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  S  C_  X )
100 fnfvima 5756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  X  /\  S  C_  X  /\  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S )  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( F " S ) )
1011003expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  Fn  X  /\  S  C_  X )  -> 
( ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  S  ->  ( F `  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  e.  ( F
" S ) ) )
10298, 99, 101sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  S  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( F " S ) ) )
10375adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
104 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  a  e.  X )
10561adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X )
1064, 50grpcl 14495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  X
)  ->  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  X )
107103, 104, 105, 106syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  X )
108 eceq1 6696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [
( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
109108, 6, 97fvmpt3i 5605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  X  ->  ( F `  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  =  [ ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
110107, 109syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  =  [ ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
11143ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  ( G ~QG  Y )  Er  X
)
1124, 50, 76, 49grplinv 14528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) a )  =  ( 0g `  G ) )
113103, 104, 112syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) a )  =  ( 0g `  G
) )
114113oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) a ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
1154, 49grpinvcl 14527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  a
)  e.  X )
116103, 104, 115syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( inv g `  G ) `  a
)  e.  X )
1174, 50grpass 14496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 a )  e.  X  /\  a  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  a )
( +g  `  G ) a ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
118103, 116, 104, 105, 117syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) a ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
1194, 50, 76grplid 14512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  X
)  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )
120103, 105, 119syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( 0g `  G
) ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )
121114, 118, 1203eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )
122 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )
123121, 122eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  Y )
12448ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  Y  C_  X )
1254, 49, 50, 41eqgval 14666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( a ( G ~QG  Y ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  <->  ( a  e.  X  /\  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  Y ) ) )
126103, 124, 125syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
a ( G ~QG  Y ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  <-> 
( a  e.  X  /\  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  X  /\  (
( ( inv g `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  Y ) ) )
127104, 107, 123, 126mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  a
( G ~QG  Y ) ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
128111, 127erthi 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  [ a ] ( G ~QG  Y )  =  [ ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
129110, 128eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  =  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
130129eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( F `  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( F " S )  <->  [ a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) ) )
131102, 130sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  S  ->  [ a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) ) )
132131ss2rabdv 3254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  { a  e.  X  |  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S }  C_  { a  e.  X  |  [
a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S ) } )
133 eceq1 6696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
134133cbvmptv 4111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )  =  ( a  e.  X  |->  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
1356, 134eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( a  e.  X  |->  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
136135mptpreima 5166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F " ( F
" S ) )  =  { a  e.  X  |  [ a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) }
137132, 93, 1363sstr4g 3219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) )
138 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  -> 
( y  e.  u  <->  y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S ) ) )
139 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  -> 
( u  C_  ( `' F " ( F
" S ) )  <-> 
( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) )
140138, 139anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  -> 
( ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) )  <->  ( y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  /\  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
141140rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  e.  J  /\  ( y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  /\  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
14272, 95, 137, 141syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
1431423ad2antr3 1122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
144143ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
)  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
14553, 144sylbid 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
146145rexlimdva 2667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  ->  ( E. z  e.  S  ( F `  z )  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
14721, 146syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  ->  ( [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
148147expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  X  /\  [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S ) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
14918, 148syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( y  e.  ( `' F "
( F " S
) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
150149ralrimiv 2625 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  A. y  e.  ( `' F "
( F " S
) ) E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
151 topontop 16664 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
152 eltop2 16713 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( `' F "
( F " S
) )  e.  J  <->  A. y  e.  ( `' F " ( F
" S ) ) E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
15324, 151, 1523syl 18 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( `' F " ( F
" S ) )  e.  J  <->  A. y  e.  ( `' F "
( F " S
) ) E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
154150, 153mpbird 223 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( `' F " ( F " S ) )  e.  J )
155 elqtop3 17394 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  ->  ( ( F
" S )  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( ( F " S )  C_  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  /\  ( `' F " ( F
" S ) )  e.  J ) ) )
15624, 10, 155syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( F " S )  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( ( F " S )  C_  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  /\  ( `' F " ( F
" S ) )  e.  J ) ) )
15713, 154, 156mpbir2and 888 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  e.  ( J qTop  F ) )
1583, 5, 6, 8, 9divsval 13444 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  H  =  ( F  "s  G ) )
159 divstgpopn.k . . 3  |-  K  =  ( TopOpen `  H )
160158, 5, 10, 9, 22, 159imastopn 17411 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  K  =  ( J qTop  F )
)
161157, 160eleqtrrd 2360 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  e.  K
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    Er wer 6657   [cec 6658   /.cqs 6659   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   TopOpenctopn 13326   0gc0g 13400   qTop cqtop 13406    /.s cqus 13408   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  SubGrpcsubg 14615  NrmSGrpcnsg 14616   ~QG cqg 14617  oppgcoppg 14818   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    Homeo chmeo 17444   TopGrpctgp 17754
This theorem is referenced by:  divstgplem  17803
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mnd 14367  df-plusf 14368  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-oppg 14819  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-tmd 17755  df-tgp 17756
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