MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsubdird Unicode version

Theorem divsubdird 9575
Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divsubdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem divsubdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 divsubdir 9456 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1186 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    - cmin 9037    / cdiv 9423
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  10780  discr  11238  crre  11599  reccn2  12070  iseralt  12157  trireciplem  12320  geolim  12326  geolim2  12327  georeclim  12328  bitsinv1lem  12632  fldivp1  12945  mul4sqlem  13000  lebnumii  18464  dyadovol  18948  mbfi1fseqlem6  19075  dveflem  19326  dvsincos  19328  dvlip  19340  ulmdvlem1  19777  efeq1  19891  tanarg  19970  logcnlem4  19992  ang180lem1  20107  angpieqvdlem  20125  chordthmlem2  20130  chordthmlem4  20132  dcubic1lem  20139  dcubic2  20140  mcubic  20143  cubic2  20144  dquartlem1  20147  dquartlem2  20148  dquart  20149  2efiatan  20214  tanatan  20215  atantan  20219  dvatan  20231  atantayl  20233  atantayl2  20234  birthdaylem2  20247  jensenlem2  20282  emcllem2  20290  basellem8  20325  lgseisenlem1  20588  lgsquadlem2  20594  vmalogdivsum2  20687  vmalogdivsum  20688  2vmadivsumlem  20689  selberg3lem1  20706  selberg4lem1  20709  selberg4  20710  pntrmax  20713  pntrsumo1  20714  selberg3r  20718  selberg4r  20719  selberg34r  20720  pntrlog2bndlem4  20729  pntpbnd2  20736  pntibndlem2  20740  pntlemo  20756  pntlem3  20758  dya2iocseg  23579  brbtwn2  24533  axsegconlem9  24553  axsegconlem10  24554  axpaschlem  24568  axcontlem8  24599  bpolydiflem  24789  pellexlem2  26915  pellexlem6  26919  stirlinglem1  27823  stirlinglem6  27828
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424
  Copyright terms: Public domain W3C validator