MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsubdird Unicode version

Theorem divsubdird 9620
Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divsubdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem divsubdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 divsubdir 9501 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1186 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  -  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479  (class class class)co 5900   CCcc 8780   0cc0 8782    - cmin 9082    / cdiv 9468
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  10827  discr  11285  crre  11646  reccn2  12117  iseralt  12204  trireciplem  12367  geolim  12373  geolim2  12374  georeclim  12375  bitsinv1lem  12679  fldivp1  12992  mul4sqlem  13047  lebnumii  18517  dyadovol  19001  mbfi1fseqlem6  19128  dveflem  19379  dvsincos  19381  dvlip  19393  ulmdvlem1  19830  efeq1  19944  tanarg  20023  logcnlem4  20045  ang180lem1  20160  angpieqvdlem  20178  chordthmlem2  20183  chordthmlem4  20185  dcubic1lem  20192  dcubic2  20193  mcubic  20196  cubic2  20197  dquartlem1  20200  dquartlem2  20201  dquart  20202  2efiatan  20267  tanatan  20268  atantan  20272  dvatan  20284  atantayl  20286  atantayl2  20287  birthdaylem2  20300  jensenlem2  20335  emcllem2  20343  basellem8  20378  lgseisenlem1  20641  lgsquadlem2  20647  vmalogdivsum2  20740  vmalogdivsum  20741  2vmadivsumlem  20742  selberg3lem1  20759  selberg4lem1  20762  selberg4  20763  pntrmax  20766  pntrsumo1  20767  selberg3r  20771  selberg4r  20772  selberg34r  20773  pntrlog2bndlem4  20782  pntpbnd2  20789  pntibndlem2  20793  pntlemo  20809  pntlem3  20811  dya2icoseg  23801  brbtwn2  24919  axsegconlem9  24939  axsegconlem10  24940  axpaschlem  24954  axcontlem8  24985  bpolydiflem  25175  itg2addnclem  25317  pellexlem2  26063  pellexlem6  26067  stirlinglem1  26971  stirlinglem6  26976
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-riota 6346  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469
  Copyright terms: Public domain W3C validator