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Theorem djajN 31327
Description: Transfer lattice join to  DVecA partial vector space closed subspace join. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 29, with closed subspace join rather than subspace sum. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
djaj.k  |-  .\/  =  ( join `  K )
djaj.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
djaj.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
djaj.j  |-  J  =  ( ( vA `  K ) `  W
)
Assertion
Ref Expression
djajN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) ) )

Proof of Theorem djajN
StepHypRef Expression
1 hllat 29553 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
21ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  K  e.  Lat )
3 hlop 29552 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
43ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  K  e.  OP )
5 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 djaj.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 djaj.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
85, 6, 7diadmclN 31227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  dom  I )  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
98adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
10 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
115, 10opoccl 29384 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  X
)  e.  ( Base `  K ) )
124, 9, 11syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  X )  e.  (
Base `  K )
)
135, 6lhpbase 30187 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
1413ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  W  e.  (
Base `  K )
)
155, 10opoccl 29384 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  W
)  e.  ( Base `  K ) )
164, 14, 15syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  W )  e.  (
Base `  K )
)
17 djaj.k . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
185, 17latjcl 14156 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( oc `  K
) `  W )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) )  e.  ( Base `  K
) )
192, 12, 16, 18syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  e.  (
Base `  K )
)
20 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
215, 20latmcl 14157 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W )  e.  ( Base `  K
) )
222, 19, 14, 21syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  ( Base `  K
) )
235, 6, 7diadmclN 31227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  dom  I )  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
2423adantrl 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
255, 10opoccl 29384 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
264, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  Y )  e.  (
Base `  K )
)
275, 17latjcl 14156 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( oc `  K
) `  W )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) )  e.  ( Base `  K
) )
282, 26, 16, 27syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  e.  (
Base `  K )
)
295, 20latmcl 14157 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W )  e.  ( Base `  K
) )
302, 28, 14, 29syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  ( Base `  K
) )
315, 20latmcl 14157 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) (
meet `  K )
( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  e.  ( Base `  K ) )
322, 22, 30, 31syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  e.  ( Base `  K
) )
33 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
345, 33, 20latmle2 14183 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) (
meet `  K )
( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ( le `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )
352, 22, 30, 34syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ) ( le `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )
365, 33, 20latmle2 14183 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) ( le `  K ) W )
372, 28, 14, 36syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( le `  K
) W )
385, 33, 2, 32, 30, 14, 35, 37lattrd 14164 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ) ( le `  K ) W )
395, 33, 6, 7diaeldm 31226 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  e. 
dom  I  <->  ( (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ( le `  K ) W ) ) )
4039adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) (
meet `  K )
( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  e.  dom  I  <->  ( ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ( le `  K ) W ) ) )
4132, 38, 40mpbir2and 888 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  e. 
dom  I )
42 eqid 2283 . . . 4  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
43 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ( ocA `  K ) `
 W )  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
4417, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 31315 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  e. 
dom  I )  -> 
( I `  (
( ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( ( ocA `  K ) `
 W ) `  ( I `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) ) )
4541, 44syldan 456 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( ( ( ( oc `  K ) `
 ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ) ) 
.\/  ( ( oc
`  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) ) )
46 hloml 29547 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OML )
4746ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  K  e.  OML )
485, 17latjcl 14156 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) )
492, 9, 24, 48syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K ) )
5033, 6, 7diadmleN 31228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  dom  I )  ->  X
( le `  K
) W )
5150adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  X ( le
`  K ) W )
5233, 6, 7diadmleN 31228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  dom  I )  ->  Y
( le `  K
) W )
5352adantrl 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  Y ( le
`  K ) W )
545, 33, 17latjle12 14168 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( X ( le `  K ) W  /\  Y ( le `  K ) W )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le
`  K ) W ) )
552, 9, 24, 14, 54syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( X ( le `  K
) W  /\  Y
( le `  K
) W )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le
`  K ) W ) )
5651, 53, 55mpbi2and 887 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) W )
575, 33, 17, 20, 10omlspjN 29451 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) W )  ->  (
( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `
 W ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( X  .\/  Y
) )
5847, 49, 14, 56, 57syl121anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( oc
`  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( X  .\/  Y ) )
595, 17latjidm 14180 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  W
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( ( oc
`  K ) `  W )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  ( ( oc `  K ) `
 W ) )
602, 16, 59syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 W )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  ( ( oc `  K
) `  W )
)
6160oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )  =  ( ( X  .\/  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) )
625, 17latjass 14201 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( oc `  K
) `  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( oc `  K ) `  W )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `
 W ) ) 
.\/  ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( ( oc `  K
) `  W )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ) )
632, 49, 16, 16, 62syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( oc
`  K ) `  W ) )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  ( ( X  .\/  Y
)  .\/  ( (
( oc `  K
) `  W )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ) )
64 hlol 29551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
6564ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  K  e.  OL )
665, 17, 20, 10oldmm2 29408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( X  .\/  Y ) ) ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) )
6765, 49, 14, 66syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( X  .\/  Y ) ) ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) )
685, 17, 20, 10oldmj1 29411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) )
6965, 9, 24, 68syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( ( oc `  K
) `  X )
( meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
705, 33, 20latleeqm1 14185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X ( le `  K ) W  <->  ( X
( meet `  K ) W )  =  X ) )
712, 9, 14, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( X ( le `  K ) W  <->  ( X (
meet `  K ) W )  =  X ) )
7251, 71mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( X (
meet `  K ) W )  =  X )
7372fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( X ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( oc
`  K ) `  X ) )
745, 17, 20, 10oldmm1 29407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( X
( meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )
7565, 9, 14, 74syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( X ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) )
7673, 75eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  X )  =  ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) )
775, 33, 20latleeqm1 14185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Y ( le `  K ) W  <->  ( Y
( meet `  K ) W )  =  Y ) )
782, 24, 14, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( Y ( le `  K ) W  <->  ( Y (
meet `  K ) W )  =  Y ) )
7953, 78mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( Y (
meet `  K ) W )  =  Y )
8079fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( oc
`  K ) `  Y ) )
815, 17, 20, 10oldmm1 29407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( Y
( meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )
8265, 24, 14, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) )
8380, 82eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  Y )  =  ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) )
8476, 83oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ) )
8569, 84eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ) )
8685oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 ( X  .\/  Y ) ) ( meet `  K ) W )  =  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ) ( meet `  K ) W ) )
875, 20latmmdir 29425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  e.  (
Base `  K )  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )
8865, 19, 28, 14, 87syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ) ( meet `  K ) W )  =  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ) )
8986, 88eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 ( X  .\/  Y ) ) ( meet `  K ) W )  =  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ) )
9089fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( X  .\/  Y ) ) ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) )
9167, 90eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  ( ( oc `  K
) `  ( (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) (
meet `  K )
( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) )
9291oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( oc
`  K ) `  W ) )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )
9363, 92eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )
9461, 93eqtr3d 2317 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )
9594oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( oc
`  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) )
9658, 95eqtr3d 2317 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) )
9796fveq2d 5529 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( I `
 ( ( ( ( oc `  K
) `  ( (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) (
meet `  K )
( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) ) )
98 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
996, 7diaclN 31240 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  dom  I )  ->  (
I `  X )  e.  ran  I )
10099adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  X )  e.  ran  I )
1016, 42, 7diaelrnN 31235 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( I `  X )  e.  ran  I )  ->  (
I `  X )  C_  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
102100, 101syldan 456 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  X )  C_  (
( LTrn `  K ) `  W ) )
1036, 7diaclN 31240 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  dom  I )  ->  (
I `  Y )  e.  ran  I )
104103adantrl 696 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  Y )  e.  ran  I )
1056, 42, 7diaelrnN 31235 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( I `  Y )  e.  ran  I )  ->  (
I `  Y )  C_  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
106104, 105syldan 456 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  Y )  C_  (
( LTrn `  K ) `  W ) )
107 djaj.j . . . . 5  |-  J  =  ( ( vA `  K ) `  W
)
1086, 42, 7, 43, 107djavalN 31325 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( I `
 X )  C_  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( I `  Y
)  C_  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( ( I `
 X ) J ( I `  Y
) )  =  ( ( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( ( ( ( ocA `  K ) `
 W ) `  ( I `  X
) )  i^i  (
( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  Y
) ) ) ) )
10998, 102, 106, 108syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( I `
 X ) J ( I `  Y
) )  =  ( ( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( ( ( ( ocA `  K ) `
 W ) `  ( I `  X
) )  i^i  (
( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  Y
) ) ) ) )
1105, 33, 20latmle2 14183 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) ( le `  K ) W )
1112, 19, 14, 110syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( le `  K
) W )
1125, 33, 6, 7diaeldm 31226 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  dom  I  <->  ( (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( le
`  K ) W ) ) )
113112adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  e.  dom  I 
<->  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( le
`  K ) W ) ) )
11422, 111, 113mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  dom  I )
1155, 33, 6, 7diaeldm 31226 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  dom  I  <->  ( (
( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( le
`  K ) W ) ) )
116115adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  e.  dom  I 
<->  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( le
`  K ) W ) ) )
11730, 37, 116mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  dom  I )
11820, 6, 7diameetN 31246 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  e.  dom  I  /\  ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  =  ( ( I `  (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) )  i^i  ( I `  ( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) )
11998, 114, 117, 118syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  =  ( ( I `  (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) )  i^i  ( I `  ( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) )
12017, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 31315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  dom  I )  ->  (
I `  ( (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  X ) ) )
121120adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  X
) ) )
12217, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 31315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  dom  I )  ->  (
I `  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  Y ) ) )
123122adantrl 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  Y
) ) )
124121, 123ineq12d 3371 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( I `
 ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  i^i  ( I `
 ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  =  ( ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  X ) )  i^i  ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  Y ) ) ) )
125119, 124eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  =  ( ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  X ) )  i^i  ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  Y ) ) ) )
126125fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ocA `  K ) `
 W ) `  ( I `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) )  =  ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( (
( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  X
) )  i^i  (
( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  Y
) ) ) ) )
127109, 126eqtr4d 2318 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( I `
 X ) J ( I `  Y
) )  =  ( ( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) ) )
12845, 97, 1273eqtr4d 2325 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   occoc 13216   joincjn 14078   meetcmee 14079   Latclat 14151   OPcops 29362   OLcol 29364   OMLcoml 29365   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   DIsoAcdia 31218   ocAcocaN 31309   vAcdjaN 31321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-cmtN 29367  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-disoa 31219  df-docaN 31310  df-djaN 31322
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