Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djavalN Unicode version

Theorem djavalN 31250
Description: Subspace join for  DVecA partial vector space. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
djaval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
djaval.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
djaval.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
djaval.n  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
djaval.j  |-  J  =  ( ( vA `  K ) `  W
)
Assertion
Ref Expression
djavalN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  T  /\  Y  C_  T
) )  ->  ( X J Y )  =  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )

Proof of Theorem djavalN
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djaval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 djaval.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 djaval.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
4 djaval.n . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
5 djaval.j . . . . 5  |-  J  =  ( ( vA `  K ) `  W
)
61, 2, 3, 4, 5djafvalN 31249 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  J  =  ( x  e.  ~P T , 
y  e.  ~P T  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
76adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  T  /\  Y  C_  T
) )  ->  J  =  ( x  e. 
~P T ,  y  e.  ~P T  |->  ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
87oveqd 6037 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  T  /\  Y  C_  T
) )  ->  ( X J Y )  =  ( X ( x  e.  ~P T , 
y  e.  ~P T  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) Y ) )
9 fvex 5682 . . . . . . 7  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
102, 9eqeltri 2457 . . . . . 6  |-  T  e. 
_V
1110elpw2 4305 . . . . 5  |-  ( X  e.  ~P T  <->  X  C_  T
)
1211biimpri 198 . . . 4  |-  ( X 
C_  T  ->  X  e.  ~P T )
1312ad2antrl 709 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  T  /\  Y  C_  T
) )  ->  X  e.  ~P T )
1410elpw2 4305 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ~P T  <->  Y  C_  T
)
1514biimpri 198 . . . 4  |-  ( Y 
C_  T  ->  Y  e.  ~P T )
1615ad2antll 710 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  T  /\  Y  C_  T
) )  ->  Y  e.  ~P T )
17 fvex 5682 . . . 4  |-  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  _V
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  T  /\  Y  C_  T
) )  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  _V )
19 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  x )  =  (  ._|_  `  X ) )
2019ineq1d 3484 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
(  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y
) )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  y
) ) )
2120fveq2d 5672 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) )  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) )
22 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (  ._|_  `  y )  =  (  ._|_  `  Y ) )
2322ineq2d 3485 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  y
) )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )
2423fveq2d 5672 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) )  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
25 eqid 2387 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P T , 
y  e.  ~P T  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) )  =  ( x  e.  ~P T ,  y  e.  ~P T  |->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  x
)  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) )
2621, 24, 25ovmpt2g 6147 . . 3  |-  ( ( X  e.  ~P T  /\  Y  e.  ~P T  /\  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )  e. 
_V )  ->  ( X ( x  e. 
~P T ,  y  e.  ~P T  |->  ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) Y )  =  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
2713, 16, 18, 26syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  T  /\  Y  C_  T
) )  ->  ( X ( x  e. 
~P T ,  y  e.  ~P T  |->  ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) Y )  =  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
288, 27eqtrd 2419 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  T  /\  Y  C_  T
) )  ->  ( X J Y )  =  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899    i^i cin 3262    C_ wss 3263   ~Pcpw 3742   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    e. cmpt2 6022   HLchlt 29465   LHypclh 30098   LTrncltrn 30215   DIsoAcdia 31143   ocAcocaN 31234   vAcdjaN 31246
This theorem is referenced by:  djaclN  31251  djajN  31252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-djaN 31247
  Copyright terms: Public domain W3C validator