Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djhffval Structured version   Unicode version

Theorem djhffval 32196
Description: Subspace join for  DVecH vector space. (Contributed by NM, 19-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
djhval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
djhffval  |-  ( K  e.  X  ->  (joinH `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, H    x, w, y, K
Allowed substitution hints:    H( x, y)    X( x, y, w)

Proof of Theorem djhffval
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2966 . 2  |-  ( K  e.  X  ->  K  e.  _V )
2 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  ( LHyp `  K
) )
3 djhval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3syl6eqr 2488 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  H )
5 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( DVecH `  k )  =  ( DVecH `  K )
)
65fveq1d 5732 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( DVecH `  k ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )
76fveq2d 5734 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) )
87pweqd 3806 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  =  ~P ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) )
9 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( ocH `  k )  =  ( ocH `  K
) )
109fveq1d 5732 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( ocH `  k
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  w
) )
1110fveq1d 5732 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  x )  =  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  x ) )
1210fveq1d 5732 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  y )  =  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) )
1311, 12ineq12d 3545 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  x )  i^i  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  y )
)  =  ( ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) )
1410, 13fveq12d 5736 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  y ) ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) )
158, 8, 14mpt2eq123dv 6138 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  y ) ) ) )  =  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ,  y  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) )
164, 15mpteq12dv 4289 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ,  y  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  y ) ) ) ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) )
17 df-djh 32195 . . 3  |- joinH  =  ( k  e.  _V  |->  ( w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ,  y  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) )
18 fvex 5744 . . . . 5  |-  ( LHyp `  K )  e.  _V
193, 18eqeltri 2508 . . . 4  |-  H  e. 
_V
2019mptex 5968 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ,  y  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) )  e.  _V
2116, 17, 20fvmpt 5808 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  (joinH `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) )
221, 21syl 16 1  |-  ( K  e.  X  ->  (joinH `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    i^i cin 3321   ~Pcpw 3801    e. cmpt 4268   ` cfv 5456    e. cmpt2 6085   Basecbs 13471   LHypclh 30783   DVecHcdvh 31878   ocHcoch 32147  joinHcdjh 32194
This theorem is referenced by:  djhfval  32197
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-djh 32195
  Copyright terms: Public domain W3C validator