Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djhfval Structured version   Unicode version

Theorem djhfval 32197
Description: Subspace join for  DVecH vector space. (Contributed by NM, 19-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
djhval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
djhval.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
djhval.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
djhval.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
djhval.j  |-  .\/  =  ( (joinH `  K ) `  W )
Assertion
Ref Expression
djhfval  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  .\/  =  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, K    x, V, y    x, W, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)    H( x, y)    .\/ ( x, y)    ._|_ ( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem djhfval
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djhval.j . . 3  |-  .\/  =  ( (joinH `  K ) `  W )
2 djhval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
32djhffval 32196 . . . 4  |-  ( K  e.  X  ->  (joinH `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) )
43fveq1d 5732 . . 3  |-  ( K  e.  X  ->  (
(joinH `  K ) `  W )  =  ( ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) `  W
) )
51, 4syl5eq 2482 . 2  |-  ( K  e.  X  ->  .\/  =  ( ( w  e.  H  |->  ( x  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) `  W
) )
6 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( DVecH `  K ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )
76fveq2d 5734 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  =  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) )
8 djhval.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
9 djhval.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
109fveq2i 5733 . . . . . . 7  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )
118, 10eqtri 2458 . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )
127, 11syl6eqr 2488 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  =  V )
1312pweqd 3806 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  =  ~P V )
14 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ocH `  K
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  W
) )
15 djhval.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
1614, 15syl6eqr 2488 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
( ocH `  K
) `  w )  =  ._|_  )
1716fveq1d 5732 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  x )  =  ( 
._|_  `  x ) )
1816fveq1d 5732 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y )  =  ( 
._|_  `  y ) )
1917, 18ineq12d 3545 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  x )  i^i  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  y )
)  =  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) )
2016, 19fveq12d 5736 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) )  =  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y
) ) ) )
2113, 13, 20mpt2eq123dv 6138 . . 3  |-  ( w  =  W  ->  (
x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) )  =  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
22 eqid 2438 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ,  y  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) )
23 fvex 5744 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  e.  _V
248, 23eqeltri 2508 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
2524pwex 4384 . . . 4  |-  ~P V  e.  _V
2625, 25mpt2ex 6427 . . 3  |-  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) )  e. 
_V
2721, 22, 26fvmpt 5808 . 2  |-  ( W  e.  H  ->  (
( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) `  W
)  =  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
285, 27sylan9eq 2490 1  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  .\/  =  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    i^i cin 3321   ~Pcpw 3801    e. cmpt 4268   ` cfv 5456    e. cmpt2 6085   Basecbs 13471   LHypclh 30783   DVecHcdvh 31878   ocHcoch 32147  joinHcdjh 32194
This theorem is referenced by:  djhval  32198
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-djh 32195
  Copyright terms: Public domain W3C validator