Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djhfval Unicode version

Theorem djhfval 31587
Description: Subspace join for  DVecH vector space. (Contributed by NM, 19-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
djhval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
djhval.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
djhval.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
djhval.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
djhval.j  |-  .\/  =  ( (joinH `  K ) `  W )
Assertion
Ref Expression
djhfval  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  .\/  =  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, K    x, V, y    x, W, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)    H( x, y)    .\/ ( x, y)    ._|_ ( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem djhfval
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djhval.j . . 3  |-  .\/  =  ( (joinH `  K ) `  W )
2 djhval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
32djhffval 31586 . . . 4  |-  ( K  e.  X  ->  (joinH `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) )
43fveq1d 5527 . . 3  |-  ( K  e.  X  ->  (
(joinH `  K ) `  W )  =  ( ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) `  W
) )
51, 4syl5eq 2327 . 2  |-  ( K  e.  X  ->  .\/  =  ( ( w  e.  H  |->  ( x  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) `  W
) )
6 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( DVecH `  K ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )
76fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  =  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) )
8 djhval.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
9 djhval.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
109fveq2i 5528 . . . . . . 7  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )
118, 10eqtri 2303 . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )
127, 11syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  =  V )
1312pweqd 3630 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  =  ~P V )
14 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ocH `  K
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  W
) )
15 djhval.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
1614, 15syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
( ocH `  K
) `  w )  =  ._|_  )
1716fveq1d 5527 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  x )  =  ( 
._|_  `  x ) )
1816fveq1d 5527 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y )  =  ( 
._|_  `  y ) )
1917, 18ineq12d 3371 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  x )  i^i  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  y )
)  =  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) )
2016, 19fveq12d 5531 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) )  =  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y
) ) ) )
2113, 13, 20mpt2eq123dv 5910 . . 3  |-  ( w  =  W  ->  (
x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) )  =  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
22 eqid 2283 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ,  y  e. 
~P ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) )
23 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  e.  _V
248, 23eqeltri 2353 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
2524pwex 4193 . . . 4  |-  ~P V  e.  _V
2625, 25mpt2ex 6198 . . 3  |-  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) )  e. 
_V
2721, 22, 26fvmpt 5602 . 2  |-  ( W  e.  H  ->  (
( w  e.  H  |->  ( x  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) ,  y  e.  ~P ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  |->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  x )  i^i  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  y ) ) ) ) ) `  W
)  =  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
285, 27sylan9eq 2335 1  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  .\/  =  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    i^i cin 3151   ~Pcpw 3625    e. cmpt 4077   ` cfv 5255    e. cmpt2 5860   Basecbs 13148   LHypclh 30173   DVecHcdvh 31268   ocHcoch 31537  joinHcdjh 31584
This theorem is referenced by:  djhval  31588
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-djh 31585
  Copyright terms: Public domain W3C validator