Theorem djhljjN 32274

Description: Lattice join in terms of DVecH vector space closed subspace join. (Contributed by NM, 17-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
djhlj.b	|- B = ( Base ` K )
djhlj.k	|- .\/ = ( join ` K )
djhlj.h	|- H = ( LHyp ` K )
djhlj.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
djhlj.j	|- J = ( (joinH ` K ) ` W )
djhljj.w	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
djhljj.x	|- ( ph -> X e. B )
djhljj.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
djhljjN	|- ( ph -> ( X .\/ Y ) = ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) )

Proof of Theorem djhljjN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djhljj.w	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		djhljj.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
3		djhljj.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
4		djhlj.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
5		djhlj.k	. . . . 5 |- .\/ = ( join ` K )
6		djhlj.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
7		djhlj.i	. . . . 5 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
8		djhlj.j	. . . . 5 |- J = ( (joinH ` K ) ` W )
9	4, 5, 6, 7, 8	djhlj 32273	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( I ` ( X .\/ Y ) ) = ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) )
10	1, 2, 3, 9	syl12anc 1183	. . 3 |- ( ph -> ( I ` ( X .\/ Y ) ) = ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) )
11	4, 6, 7	dihcl 32142	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. ran I )
12	1, 2, 11	syl2anc 644	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` X ) e. ran I )
13		eqid 2438	. . . . . . 7 |- ( ( DVecH ` K ) ` W ) = ( ( DVecH ` K ) ` W )
14		eqid 2438	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) = ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) )
15	6, 13, 7, 14	dihrnss 32150	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( I ` X ) e. ran I ) -> ( I ` X ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
16	1, 12, 15	syl2anc 644	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` X ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
17	4, 6, 7	dihcl 32142	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) e. ran I )
18	1, 3, 17	syl2anc 644	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` Y ) e. ran I )
19	6, 13, 7, 14	dihrnss 32150	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( I ` Y ) e. ran I ) -> ( I ` Y ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
20	1, 18, 19	syl2anc 644	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` Y ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
21	6, 7, 13, 14, 8	djhcl 32272	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( I ` X ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) /\ ( I ` Y ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ) ) -> ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) e. ran I )
22	1, 16, 20, 21	syl12anc 1183	. . . 4 |- ( ph -> ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) e. ran I )
23	6, 7	dihcnvid2 32145	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) e. ran I ) -> ( I ` ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) = ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) )
24	1, 22, 23	syl2anc 644	. . 3 |- ( ph -> ( I ` ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) = ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) )
25	10, 24	eqtr4d 2473	. 2 |- ( ph -> ( I ` ( X .\/ Y ) ) = ( I ` ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) )
26	1	simpld 447	. . . . 5 |- ( ph -> K e. HL )
27		hllat 30235	. . . . 5 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
28	26, 27	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> K e. Lat )
29	4, 5	latjcl 14484	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .\/ Y ) e. B )
30	28, 2, 3, 29	syl3anc 1185	. . 3 |- ( ph -> ( X .\/ Y ) e. B )
31	4, 6, 7	dihcnvcl 32143	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) e. ran I ) -> ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) e. B )
32	1, 22, 31	syl2anc 644	. . 3 |- ( ph -> ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) e. B )
33	4, 6, 7	dih11 32137	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X .\/ Y ) e. B /\ ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) e. B ) -> ( ( I ` ( X .\/ Y ) ) = ( I ` ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) <-> ( X .\/ Y ) = ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) )
34	1, 30, 32, 33	syl3anc 1185	. 2 |- ( ph -> ( ( I ` ( X .\/ Y ) ) = ( I ` ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) <-> ( X .\/ Y ) = ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) )
35	25, 34	mpbid 203	1 |- ( ph -> ( X .\/ Y ) = ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 178   /\ wa 360   = wceq 1653   e. wcel 1726   C_ wss 3322   `'ccnv 4880   ran crn 4882   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   joincjn 14406   Latclat 14479   HLchlt 30222   LHypclh 30855   DVecHcdvh 31950   DIsoHcdih 32100  joinHcdjh 32266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-undef 6546  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-0g 13732  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-cntz 15121  df-lsm 15275  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-dvr 15793  df-drng 15842  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lvec 16180  df-lsatoms 29848  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-llines 30369  df-lplanes 30370  df-lvols 30371  df-lines 30372  df-psubsp 30374  df-pmap 30375  df-padd 30667  df-lhyp 30859  df-laut 30860  df-ldil 30975  df-ltrn 30976  df-trl 31030  df-tendo 31626  df-edring 31628  df-disoa 31901  df-dvech 31951  df-dib 32011  df-dic 32045  df-dih 32101  df-doch 32220  df-djh 32267