Theorem djhljjN 31592

Description: Lattice join in terms of DVecH vector space closed subspace join. (Contributed by NM, 17-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
djhlj.b	|- B = ( Base ` K )
djhlj.k	|- .\/ = ( join ` K )
djhlj.h	|- H = ( LHyp ` K )
djhlj.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
djhlj.j	|- J = ( (joinH ` K ) ` W )
djhljj.w	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
djhljj.x	|- ( ph -> X e. B )
djhljj.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
djhljjN	|- ( ph -> ( X .\/ Y ) = ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) )

Proof of Theorem djhljjN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djhljj.w	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		djhljj.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
3		djhljj.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
4		djhlj.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
5		djhlj.k	. . . . 5 |- .\/ = ( join ` K )
6		djhlj.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
7		djhlj.i	. . . . 5 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
8		djhlj.j	. . . . 5 |- J = ( (joinH ` K ) ` W )
9	4, 5, 6, 7, 8	djhlj 31591	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( I ` ( X .\/ Y ) ) = ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) )
10	1, 2, 3, 9	syl12anc 1180	. . 3 |- ( ph -> ( I ` ( X .\/ Y ) ) = ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) )
11	4, 6, 7	dihcl 31460	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. ran I )
12	1, 2, 11	syl2anc 642	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` X ) e. ran I )
13		eqid 2283	. . . . . . 7 |- ( ( DVecH ` K ) ` W ) = ( ( DVecH ` K ) ` W )
14		eqid 2283	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) = ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) )
15	6, 13, 7, 14	dihrnss 31468	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( I ` X ) e. ran I ) -> ( I ` X ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
16	1, 12, 15	syl2anc 642	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` X ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
17	4, 6, 7	dihcl 31460	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) e. ran I )
18	1, 3, 17	syl2anc 642	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` Y ) e. ran I )
19	6, 13, 7, 14	dihrnss 31468	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( I ` Y ) e. ran I ) -> ( I ` Y ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
20	1, 18, 19	syl2anc 642	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` Y ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
21	6, 7, 13, 14, 8	djhcl 31590	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( I ` X ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) /\ ( I ` Y ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ) ) -> ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) e. ran I )
22	1, 16, 20, 21	syl12anc 1180	. . . 4 |- ( ph -> ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) e. ran I )
23	6, 7	dihcnvid2 31463	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) e. ran I ) -> ( I ` ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) = ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) )
24	1, 22, 23	syl2anc 642	. . 3 |- ( ph -> ( I ` ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) = ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) )
25	10, 24	eqtr4d 2318	. 2 |- ( ph -> ( I ` ( X .\/ Y ) ) = ( I ` ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) )
26	1	simpld 445	. . . . 5 |- ( ph -> K e. HL )
27		hllat 29553	. . . . 5 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
28	26, 27	syl 15	. . . 4 |- ( ph -> K e. Lat )
29	4, 5	latjcl 14156	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .\/ Y ) e. B )
30	28, 2, 3, 29	syl3anc 1182	. . 3 |- ( ph -> ( X .\/ Y ) e. B )
31	4, 6, 7	dihcnvcl 31461	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) e. ran I ) -> ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) e. B )
32	1, 22, 31	syl2anc 642	. . 3 |- ( ph -> ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) e. B )
33	4, 6, 7	dih11 31455	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X .\/ Y ) e. B /\ ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) e. B ) -> ( ( I ` ( X .\/ Y ) ) = ( I ` ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) <-> ( X .\/ Y ) = ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) )
34	1, 30, 32, 33	syl3anc 1182	. 2 |- ( ph -> ( ( I ` ( X .\/ Y ) ) = ( I ` ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) <-> ( X .\/ Y ) = ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) )
35	25, 34	mpbid 201	1 |- ( ph -> ( X .\/ Y ) = ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   = wceq 1623   e. wcel 1684   C_ wss 3152   `'ccnv 4688   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   joincjn 14078   Latclat 14151   HLchlt 29540   LHypclh 30173   DVecHcdvh 31268   DIsoHcdih 31418  joinHcdjh 31584

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lsatoms 29166  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tendo 30944  df-edring 30946  df-disoa 31219  df-dvech 31269  df-dib 31329  df-dic 31363  df-dih 31419  df-doch 31538  df-djh 31585