Theorem djhljjN 31885

Description: Lattice join in terms of DVecH vector space closed subspace join. (Contributed by NM, 17-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
djhlj.b	|- B = ( Base ` K )
djhlj.k	|- .\/ = ( join ` K )
djhlj.h	|- H = ( LHyp ` K )
djhlj.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
djhlj.j	|- J = ( (joinH ` K ) ` W )
djhljj.w	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
djhljj.x	|- ( ph -> X e. B )
djhljj.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
djhljjN	|- ( ph -> ( X .\/ Y ) = ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) )

Proof of Theorem djhljjN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djhljj.w	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		djhljj.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
3		djhljj.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
4		djhlj.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
5		djhlj.k	. . . . 5 |- .\/ = ( join ` K )
6		djhlj.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
7		djhlj.i	. . . . 5 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
8		djhlj.j	. . . . 5 |- J = ( (joinH ` K ) ` W )
9	4, 5, 6, 7, 8	djhlj 31884	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( I ` ( X .\/ Y ) ) = ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) )
10	1, 2, 3, 9	syl12anc 1182	. . 3 |- ( ph -> ( I ` ( X .\/ Y ) ) = ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) )
11	4, 6, 7	dihcl 31753	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. ran I )
12	1, 2, 11	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` X ) e. ran I )
13		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( ( DVecH ` K ) ` W ) = ( ( DVecH ` K ) ` W )
14		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) = ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) )
15	6, 13, 7, 14	dihrnss 31761	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( I ` X ) e. ran I ) -> ( I ` X ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
16	1, 12, 15	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` X ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
17	4, 6, 7	dihcl 31753	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) e. ran I )
18	1, 3, 17	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` Y ) e. ran I )
19	6, 13, 7, 14	dihrnss 31761	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( I ` Y ) e. ran I ) -> ( I ` Y ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
20	1, 18, 19	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` Y ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
21	6, 7, 13, 14, 8	djhcl 31883	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( I ` X ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) /\ ( I ` Y ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ) ) -> ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) e. ran I )
22	1, 16, 20, 21	syl12anc 1182	. . . 4 |- ( ph -> ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) e. ran I )
23	6, 7	dihcnvid2 31756	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) e. ran I ) -> ( I ` ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) = ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) )
24	1, 22, 23	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( I ` ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) = ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) )
25	10, 24	eqtr4d 2439	. 2 |- ( ph -> ( I ` ( X .\/ Y ) ) = ( I ` ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) )
26	1	simpld 446	. . . . 5 |- ( ph -> K e. HL )
27		hllat 29846	. . . . 5 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
28	26, 27	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> K e. Lat )
29	4, 5	latjcl 14434	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .\/ Y ) e. B )
30	28, 2, 3, 29	syl3anc 1184	. . 3 |- ( ph -> ( X .\/ Y ) e. B )
31	4, 6, 7	dihcnvcl 31754	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) e. ran I ) -> ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) e. B )
32	1, 22, 31	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) e. B )
33	4, 6, 7	dih11 31748	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X .\/ Y ) e. B /\ ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) e. B ) -> ( ( I ` ( X .\/ Y ) ) = ( I ` ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) <-> ( X .\/ Y ) = ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) )
34	1, 30, 32, 33	syl3anc 1184	. 2 |- ( ph -> ( ( I ` ( X .\/ Y ) ) = ( I ` ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) <-> ( X .\/ Y ) = ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) ) )
35	25, 34	mpbid 202	1 |- ( ph -> ( X .\/ Y ) = ( `' I ` ( ( I ` X ) J ( I ` Y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   C_ wss 3280   `'ccnv 4836   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   joincjn 14356   Latclat 14429   HLchlt 29833   LHypclh 30466   DVecHcdvh 31561   DIsoHcdih 31711  joinHcdjh 31877

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-undef 6502  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-0g 13682  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130  df-lsatoms 29459  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tendo 31237  df-edring 31239  df-disoa 31512  df-dvech 31562  df-dib 31622  df-dic 31656  df-dih 31712  df-doch 31831  df-djh 31878