Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djhljjN Structured version   Unicode version

Theorem djhljjN 32274
Description: Lattice join in terms of  DVecH vector space closed subspace join. (Contributed by NM, 17-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
djhlj.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
djhlj.k  |-  .\/  =  ( join `  K )
djhlj.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
djhlj.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
djhlj.j  |-  J  =  ( (joinH `  K
) `  W )
djhljj.w  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
djhljj.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
djhljj.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
djhljjN  |-  ( ph  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( `' I `  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) ) ) )

Proof of Theorem djhljjN
StepHypRef Expression
1 djhljj.w . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 djhljj.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3 djhljj.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
4 djhlj.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 djhlj.k . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
6 djhlj.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 djhlj.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
8 djhlj.j . . . . 5  |-  J  =  ( (joinH `  K
) `  W )
94, 5, 6, 7, 8djhlj 32273 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( I `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( I `
 X ) J ( I `  Y
) ) )
101, 2, 3, 9syl12anc 1183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( I `
 X ) J ( I `  Y
) ) )
114, 6, 7dihcl 32142 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B
)  ->  ( I `  X )  e.  ran  I )
121, 2, 11syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  X
)  e.  ran  I
)
13 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
14 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
156, 13, 7, 14dihrnss 32150 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( I `  X )  e.  ran  I )  ->  (
I `  X )  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
161, 12, 15syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  X
)  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
174, 6, 7dihcl 32142 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  B
)  ->  ( I `  Y )  e.  ran  I )
181, 3, 17syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  Y
)  e.  ran  I
)
196, 13, 7, 14dihrnss 32150 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( I `  Y )  e.  ran  I )  ->  (
I `  Y )  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
201, 18, 19syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  Y
)  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
216, 7, 13, 14, 8djhcl 32272 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( I `
 X )  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  /\  ( I `  Y
)  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ) )  -> 
( ( I `  X ) J ( I `  Y ) )  e.  ran  I
)
221, 16, 20, 21syl12anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) )  e.  ran  I
)
236, 7dihcnvid2 32145 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( I `
 X ) J ( I `  Y
) )  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  ( (
I `  X ) J ( I `  Y ) ) ) )  =  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) ) )
241, 22, 23syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  ( `' I `  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) ) ) )  =  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) ) )
2510, 24eqtr4d 2473 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( I `  ( `' I `  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) ) ) ) )
261simpld 447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  HL )
27 hllat 30235 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Lat )
294, 5latjcl 14484 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
3028, 2, 3, 29syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
314, 6, 7dihcnvcl 32143 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( I `
 X ) J ( I `  Y
) )  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) ) )  e.  B )
321, 22, 31syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' I `  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) ) )  e.  B
)
334, 6, 7dih11 32137 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  ( `' I `  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) ) )  e.  B )  -> 
( ( I `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( I `
 ( `' I `  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) ) ) )  <->  ( X  .\/  Y )  =  ( `' I `  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) ) ) ) )
341, 30, 32, 33syl3anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( I `
 ( `' I `  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) ) ) )  <->  ( X  .\/  Y )  =  ( `' I `  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) ) ) ) )
3525, 34mpbid 203 1  |-  ( ph  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( `' I `  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   `'ccnv 4880   ran crn 4882   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   joincjn 14406   Latclat 14479   HLchlt 30222   LHypclh 30855   DVecHcdvh 31950   DIsoHcdih 32100  joinHcdjh 32266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-undef 6546  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-0g 13732  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-cntz 15121  df-lsm 15275  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-dvr 15793  df-drng 15842  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lvec 16180  df-lsatoms 29848  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-llines 30369  df-lplanes 30370  df-lvols 30371  df-lines 30372  df-psubsp 30374  df-pmap 30375  df-padd 30667  df-lhyp 30859  df-laut 30860  df-ldil 30975  df-ltrn 30976  df-trl 31030  df-tendo 31626  df-edring 31628  df-disoa 31901  df-dvech 31951  df-dib 32011  df-dic 32045  df-dih 32101  df-doch 32220  df-djh 32267
  Copyright terms: Public domain W3C validator