Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djhval Unicode version

Theorem djhval 31406
Description: Subspace join for  DVecH vector space. (Contributed by NM, 19-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
djhval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
djhval.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
djhval.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
djhval.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
djhval.j  |-  .\/  =  ( (joinH `  K ) `  W )
Assertion
Ref Expression
djhval  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )

Proof of Theorem djhval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djhval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 djhval.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 djhval.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 djhval.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
5 djhval.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( (joinH `  K ) `  W )
61, 2, 3, 4, 5djhfval 31405 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .\/  =  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
76adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  .\/  =  ( x  e.  ~P V ,  y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  x
)  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
87oveqd 5917 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  ( X ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) Y ) )
9 fvex 5577 . . . . . . 7  |-  ( Base `  U )  e.  _V
103, 9eqeltri 2386 . . . . . 6  |-  V  e. 
_V
1110elpw2 4212 . . . . 5  |-  ( X  e.  ~P V  <->  X  C_  V
)
1211biimpri 197 . . . 4  |-  ( X 
C_  V  ->  X  e.  ~P V )
1312ad2antrl 708 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  X  e.  ~P V )
1410elpw2 4212 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ~P V  <->  Y  C_  V
)
1514biimpri 197 . . . 4  |-  ( Y 
C_  V  ->  Y  e.  ~P V )
1615ad2antll 709 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  Y  e.  ~P V )
17 fvex 5577 . . . 4  |-  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  _V
1817a1i 10 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  _V )
19 fveq2 5563 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  x )  =  (  ._|_  `  X ) )
2019ineq1d 3403 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
(  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y
) )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  y
) ) )
2120fveq2d 5567 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) )  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) )
22 fveq2 5563 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (  ._|_  `  y )  =  (  ._|_  `  Y ) )
2322ineq2d 3404 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  y
) )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )
2423fveq2d 5567 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) )  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
25 eqid 2316 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) )  =  ( x  e.  ~P V ,  y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  x
)  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) )
2621, 24, 25ovmpt2g 6024 . . 3  |-  ( ( X  e.  ~P V  /\  Y  e.  ~P V  /\  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )  e. 
_V )  ->  ( X ( x  e. 
~P V ,  y  e.  ~P V  |->  ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) Y )  =  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
2713, 16, 18, 26syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  ( X ( x  e. 
~P V ,  y  e.  ~P V  |->  ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) Y )  =  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
288, 27eqtrd 2348 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   _Vcvv 2822    i^i cin 3185    C_ wss 3186   ~Pcpw 3659   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    e. cmpt2 5902   Basecbs 13195   HLchlt 29358   LHypclh 29991   DVecHcdvh 31086   ocHcoch 31355  joinHcdjh 31402
This theorem is referenced by:  djhval2  31407  djhcl  31408  djhlj  31409  djhexmid  31419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-djh 31403
  Copyright terms: Public domain W3C validator