Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djhval Structured version   Unicode version

Theorem djhval 32197
Description: Subspace join for  DVecH vector space. (Contributed by NM, 19-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
djhval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
djhval.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
djhval.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
djhval.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
djhval.j  |-  .\/  =  ( (joinH `  K ) `  W )
Assertion
Ref Expression
djhval  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )

Proof of Theorem djhval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djhval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 djhval.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 djhval.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 djhval.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
5 djhval.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( (joinH `  K ) `  W )
61, 2, 3, 4, 5djhfval 32196 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .\/  =  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
76adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  .\/  =  ( x  e.  ~P V ,  y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  x
)  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) )
87oveqd 6099 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  ( X ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) Y ) )
9 fvex 5743 . . . . . . 7  |-  ( Base `  U )  e.  _V
103, 9eqeltri 2507 . . . . . 6  |-  V  e. 
_V
1110elpw2 4365 . . . . 5  |-  ( X  e.  ~P V  <->  X  C_  V
)
1211biimpri 199 . . . 4  |-  ( X 
C_  V  ->  X  e.  ~P V )
1312ad2antrl 710 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  X  e.  ~P V )
1410elpw2 4365 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ~P V  <->  Y  C_  V
)
1514biimpri 199 . . . 4  |-  ( Y 
C_  V  ->  Y  e.  ~P V )
1615ad2antll 711 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  Y  e.  ~P V )
17 fvex 5743 . . . 4  |-  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  _V
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  _V )
19 fveq2 5729 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  x )  =  (  ._|_  `  X ) )
2019ineq1d 3542 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
(  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y
) )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  y
) ) )
2120fveq2d 5733 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) )  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) )
22 fveq2 5729 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (  ._|_  `  y )  =  (  ._|_  `  Y ) )
2322ineq2d 3543 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  y
) )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )
2423fveq2d 5733 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) )  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
25 eqid 2437 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P V , 
y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) )  =  ( x  e.  ~P V ,  y  e.  ~P V  |->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  x
)  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) )
2621, 24, 25ovmpt2g 6209 . . 3  |-  ( ( X  e.  ~P V  /\  Y  e.  ~P V  /\  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )  e. 
_V )  ->  ( X ( x  e. 
~P V ,  y  e.  ~P V  |->  ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) Y )  =  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
2713, 16, 18, 26syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  ( X ( x  e. 
~P V ,  y  e.  ~P V  |->  ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  x )  i^i  (  ._|_  `  y ) ) ) ) Y )  =  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
288, 27eqtrd 2469 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V
) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2957    i^i cin 3320    C_ wss 3321   ~Pcpw 3800   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    e. cmpt2 6084   Basecbs 13470   HLchlt 30149   LHypclh 30782   DVecHcdvh 31877   ocHcoch 32146  joinHcdjh 32193
This theorem is referenced by:  djhval2  32198  djhcl  32199  djhlj  32200  djhexmid  32210
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-djh 32194
  Copyright terms: Public domain W3C validator